انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

القطوع المخروطية: توصيف المكافئ والناقص والزائد وتمثيلها البياني

ملخص

يجمع هذا الدرس في نظرية واحدة المنحنيات التي دُرست في الدروس التي سبقته. فهو يقدّم القطوع المخروطية بوصفها المنحنيات الناتجة عن قطع مخروط مزدوج بمستوى، ويذكّر بأشكالها القانونية، ويبيّن أن كل معادلة من الدرجة الثانية خالية من الحد الذي فيه xyxy تمثّل قطعًا مكافئًا أو قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا أو إحدى حالاتها المنحلة: نقطةً، أو مستقيمًا واحدًا أو مستقيمين، أو لا نقطة على الإطلاق. ويكفي إكمال المربعات لتحديد المنحنى المقصود ولقراءة مركزه أو رأسه، ونصفي محوريه، وبؤره. ويُختتم بالاختلاف المركزي، الذي يجمع المنحنيات الثلاثة في تعريف واحد بواسطة بؤرة ومستقيم دليل، وبتقاطع القطوع المخروطية مع المستقيمات.

أهداف التعلم

  1. التعرّف على القطوع المخروطية بوصفها تقاطعات مخروط مزدوج مع مستوى، بما في ذلك حالاتها المنحلة.
  2. ردّ معادلة من الدرجة الثانية خالية من الحد الذي فيه xyxy إلى شكلها القانوني بإكمال المربعات، وتحديد المنحنى الذي تمثّله من إشارات معاملاتها.
  3. إيجاد المركز أو الرأس، ونصفي المحورين، والبؤر، والمستقيم الدليل، والمقاربين لقطع مخروطي معطى بمعادلته العامة، ورسم تمثيله البياني.
  4. استعمال الاختلاف المركزي لوصف القطوع المخروطية بوصفها محالّ هندسية، والمميّز لدراسة تقاطعاتها مع المستقيمات.

القطوع المخروطية

لنأخذ مخروطًا مزدوجًا: السطح الذي يولّده مستقيم، هو المولِّد، عند دورانه حول مستقيم آخر، هو المحور، يقطعه في نقطة ثابتة هي رأس المخروط. وللسطح صفيحتان، واحدة على كل جانب من الرأس. وإذا قُطع بمستوى لا يمر بالرأس، فإن المنحنى الناتج يتوقف على الزاوية التي يصنعها المستوى مع المحور، مقارنةً بالزاوية التي يصنعها كل مولِّد مع المحور.

  • إذا كان المستوى عموديًا على المحور، فالمنحنى دائرة.
  • إذا صنع المستوى مع المحور زاوية أكبر من زاوية المولِّد، قطع جميع مولِّدات صفيحة واحدة فقط، وكان المنحنى قطعًا ناقصًا، مغلقًا.
  • إذا صنع المستوى مع المحور الزاوية نفسها التي يصنعها المولِّد، أي إذا كان موازيًا لأحد المولِّدات، قطع صفيحة واحدة فقط، وكان المنحنى قطعًا مكافئًا، مفتوحًا.
  • إذا صنع المستوى مع المحور زاوية أصغر من زاوية المولِّد، قطع الصفيحتين كلتيهما، وكان المنحنى قطعًا زائدًا، ذا فرعين.

إذا مرّ المستوى برأس المخروط، اختُزل التقاطع إلى نقطة، أو إلى مستقيم (أحد المولِّدات)، أو إلى مستقيمين يتقاطعان في الرأس. هذه هي الحالات المنحلة، وستظهر مجددًا فيما بعد بوصفها حلولًا لبعض المعادلات من الدرجة الثانية، ومعها حالتان أخريان لا تنتجان عن قطع مخروط: زوج المستقيمين المتوازيين، الناتج عن قطع أسطوانة، والمجموعة الخالية. ومع ذلك، فالدائرة ليست عائلة رابعة، بل هي القطع الناقص الذي يوافق الوضع العمودي للمستوى.

إن تطابق المنحنيات الناتجة عن قطع المخروط مع تلك التي عرّفتها الدروس التي سبقت هذا الدرس بواسطة البؤر هو مبرهنة داندلان. وبرهانها خارج نطاق هذه الدورة، لأنه يتطلب هندسة الفضاء (الكرات المرسومة داخل المخروط والمماسة لمستوى القطع، التي تكون نقاط تماسها مع المستوى هي البؤر)؛ ولذلك لا تفيد تقاطعات المخروط مع المستوى هنا إلا تمثيلًا بصريًا، والتعريفات المستعملة هي تعريفات المسافات.