Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Конические сечения: параболы, эллипсы, гиперболы и их графики

Краткое содержание

Этот урок объединяет в одну теорию кривые, изученные в предыдущих уроках. Он представляет конические сечения как кривые, которые получаются при пересечении двойного конуса плоскостью, напоминает их канонический вид и показывает, что всякое уравнение второй степени без члена с xyxy задаёт параболу, эллипс, гиперболу или один из их вырожденных случаев: точку, одну или две прямые либо пустое множество. Чтобы решить, о какой кривой идёт речь, и найти её центр или вершину, полуоси и фокусы, достаточно выделить полные квадраты. Урок завершается эксцентриситетом, который объединяет три кривые в одном определении с помощью фокуса и директрисы, и пересечением конических сечений с прямыми.

Цели обучения

  1. Распознавать конические сечения как сечения двойного конуса плоскостью, включая их вырожденные случаи.
  2. Приводить уравнение второй степени без члена с xyxy к каноническому виду выделением полных квадратов и по знакам его коэффициентов определять, какую кривую оно задаёт.
  3. Находить центр или вершину, полуоси, фокусы, директрису и асимптоты конического сечения, заданного общим уравнением, и строить его график.
  4. Использовать эксцентриситет для описания конических сечений как геометрических мест точек, а дискриминант для исследования их пересечений с прямыми.

Конические сечения

Рассмотрим двойной конус: поверхность, которую описывает прямая (образующая) при вращении вокруг другой прямой (оси), пересекающей её в фиксированной точке (вершине конуса). Поверхность состоит из двух полостей, по одной с каждой стороны от вершины. Если пересечь её плоскостью, не проходящей через вершину, то получающаяся кривая зависит от угла между плоскостью и осью в сравнении с углом, который образует с осью каждая образующая.

  • Если плоскость перпендикулярна оси, то кривая является окружностью.
  • Если плоскость образует с осью угол, больший, чем образующая, то она пересекает все образующие одной полости и кривая является эллипсом, замкнутой кривой.
  • Если плоскость образует с осью тот же угол, что и образующая, то есть параллельна одной из образующих, то она пересекает только одну полость и кривая является параболой, незамкнутой кривой.
  • Если плоскость образует с осью угол, меньший, чем образующая, то она пересекает обе полости и кривая является гиперболой с двумя ветвями.

Если плоскость проходит через вершину конуса, то пересечение сводится к точке, к прямой (одной из образующих) или к двум прямым, пересекающимся в вершине. Это вырожденные случаи; ниже они появятся снова как множества решений некоторых уравнений второй степени, вместе с двумя другими, которые не получаются сечением конуса: парой параллельных прямых, которая получается сечением цилиндра, и пустым множеством. Вместе с тем окружность не образует четвёртого семейства: это эллипс, соответствующий перпендикулярному положению плоскости.

То, что кривые, получаемые сечением конуса, совпадают с кривыми, которые в предыдущих уроках были определены через фокусы, составляет теорему Данделена. Её доказательство выходит за рамки этого курса, поскольку требует стереометрии (сфер, вписанных в конус и касающихся секущей плоскости, точки касания которых с плоскостью и являются фокусами); поэтому здесь сечения конуса служат лишь наглядным образом, а используются определения через расстояния.