Уравнение гиперболы и его вывод

Определение гиперболы

В уроке об уравнении эллипса и окружности эллипс был определён как множество точек, у которых сумма расстояний до двух фокусов постоянна. Гипербола получается, если заменить сумму разностью.

Пусть $F_1$ и $F_2$ есть две различные точки плоскости, фокусы, находящиеся на расстоянии $2c$ друг от друга, и пусть $a$ есть число, для которого $0 < a < c$. Гиперболой с фокусами $F_1$ и $F_2$ называется множество точек $P$ плоскости, расстояния от которых до фокусов отличаются ровно на $2a$, какой бы из фокусов ни был ближе.

В символах: если $d_1$ и $d_2$ есть расстояния от $P$ до $F_1$ и до $F_2$, то точка $P$ принадлежит гиперболе, когда она удовлетворяет одному из двух приведённых ниже уравнений; точки, удовлетворяющие первому, находятся ближе к $F_2$ и образуют одну ветвь, а точки, удовлетворяющие второму, ближе к $F_1$, образуют другую:

Условие $0 < a < c$ не произвольно. В треугольнике с вершинами $P$, $F_1$ и $F_2$ разность двух сторон всегда меньше третьей, длина которой равна $2c$; отсюда следует, что ни у одной точки вне прямой, проходящей через фокусы, разность расстояний не может быть равна $2c$ или больше. Если $a = c$, то условию удовлетворяют только точки двух лучей, выходящих из фокусов наружу, а если $a > c$, то таких точек нет вовсе; первое из этих утверждений следует из случая равенства в неравенстве треугольника, доказанного в уроке о векторах на плоскости: в применении к $\vec{u} = \vec{PF_2}$ и $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$ равенство $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ требует, чтобы один из этих векторов был произведением другого на неотрицательное число, то есть чтобы точка $P$ лежала на прямой, проходящей через фокусы, а $F_2$ находилась между $P$ и $F_1$ (или совпадала с $P$); если $a = 0$, то условие означает, что точка $P$ равноудалена от фокусов, и задаёт серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему фокусы. Ни одно из этих множеств не является гиперболой, и поэтому они исключаются.

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром гиперболы, а прямая, проходящая через фокусы, её фокальной осью. Две точки гиперболы, лежащие на фокальной оси, называются её вершинами; расстояние между ними равно $2a$, так что каждая вершина находится на расстоянии $a$ от центра.