Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Окружность: касательные, взаимное расположение и степень точки

Краткое содержание

Этот урок изучает окружность в её отношении к точкам, прямым и другим окружностям плоскости. Он измеряет положение точки числом, её степенью, равной разности квадрата её расстояния до центра и квадрата радиуса; определяет положение прямой, сравнивая с радиусом расстояние от центра до прямой, и показывает, что этот признак совпадает с признаком, основанным на дискриминанте. Урок доказывает, что касательная перпендикулярна радиусу, и выводит её уравнение, классифицирует шесть случаев взаимного расположения двух окружностей с помощью их радикальной оси и доказывает теорему о степени точки, из которой вытекают теорема о пересекающихся хордах, теорема о касательной и секущей, равенство двух отрезков касательных, проведённых из внешней точки, и существование радикального центра трёх окружностей.

Цели обучения

  1. Определять положение точки и положение прямой относительно окружности с помощью степени точки и расстояния от центра до прямой и связывать этот признак с дискриминантом.
  2. Находить уравнение касательной в точке окружности и уравнения двух касательных, проведённых из внешней точки.
  3. Классифицировать случаи взаимного расположения двух окружностей, сравнивая расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов, и находить их радикальную ось.
  4. Применять теорему о степени точки и её следствия к задачам о хордах, о касательных и о геометрических местах точек.

Положение точки и её степень

В уроке об эллипсах и окружностях окружность с центром C=(h,k)C = (h, k) и радиусом rr была определена как множество точек, расстояние от которых до CC равно rr, было получено её уравнение (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 и показано, как распознать её, выделяя полные квадраты, в развёрнутом уравнении x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Этот урок начинается отсюда. Точка PP, расстояние от которой до CC равно dd, называется внутренней точкой окружности, если d<rd < r, лежит на окружности, если d=rd = r, и называется внешней, если d>rd > r. Поскольку dd и rr неотрицательны, сравнить их равносильно тому, чтобы сравнить их квадраты, по правилам действий с неравенствами из урока о числовой прямой; отсюда вытекает, что положение точки PP определяется знаком одного-единственного числа.

Пусть дана окружность с центром C=(h,k)C = (h, k) и радиусом rr, и пусть P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) есть точка, расстояние от которой до CC равно dd. Степенью точки PP относительно окружности называется число p=d2−r2p = d^2 - r^2. Точка является внутренней, если p<0p < 0, лежит на окружности, если p=0p = 0, и является внешней, если p>0p > 0.

С помощью формулы расстояния степень записывается в координатах так:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

Правая часть есть левая часть уравнения окружности, записанного так, что все его члены стоят слева, вычисленная в точке (x0,y0)(x_0, y_0). Если окружность задана в развёрнутом виде, с коэффициентом 11 при x2x^2 и при y2y^2, то эта левая часть есть тот же многочлен, только с раскрытыми скобками; поэтому степень получается подстановкой координат точки в x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F, без нахождения центра и радиуса. Например, для окружности x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 с центром (1,2)(1, 2) и радиусом 55 точка (4,6)(4, 6) имеет степень 00 и лежит на ней, точка (3,5)(3, 5) имеет степень −12-12 и является внутренней, а точка (7,2)(7, 2) имеет степень 1111 и является внешней. Название «степень» объясняется в пункте о степени точки, где будет видно, что это число измеряет, без ссылки на центр, произведение двух расстояний.