शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय का अभिलक्षणन और आलेख

शंकु परिच्छेद

एक द्वि-शंकु पर विचार कीजिए: वह पृष्ठ जो एक रेखा (जनक रेखा) तब बनाती है जब वह एक अन्य रेखा (अक्ष) के परितः घूमती है, जिसे वह एक नियत बिंदु (शंकु का शीर्ष) पर काटती है। इस पृष्ठ के दो पत्रक हैं, शीर्ष के प्रत्येक ओर एक। यदि इसे ऐसे समतल से काटा जाए जो शीर्ष से होकर नहीं जाता, तो प्राप्त वक्र इस पर निर्भर करता है कि समतल अक्ष के साथ कितना कोण बनाता है, उस कोण की तुलना में जो प्रत्येक जनक रेखा अक्ष के साथ बनाती है।

• यदि समतल अक्ष पर लंब है, तो वक्र एक वृत्त है।
• यदि समतल अक्ष के साथ जनक रेखा के कोण से बड़ा कोण बनाता है, तो वह एक ही पत्रक की सभी जनक रेखाओं को काटता है और वक्र एक बंद दीर्घवृत्त है।
• यदि समतल अक्ष के साथ वही कोण बनाता है जो जनक रेखा बनाती है, अर्थात् यदि वह किसी जनक रेखा के समांतर है, तो वह केवल एक पत्रक को काटता है और वक्र एक खुला परवलय है।
• यदि समतल अक्ष के साथ जनक रेखा के कोण से छोटा कोण बनाता है, तो वह दोनों पत्रकों को काटता है और वक्र दो शाखाओं वाला एक अतिपरवलय है।

यदि समतल शंकु के शीर्ष से होकर जाता है, तो प्रतिच्छेदन एक बिंदु, एक रेखा (एक जनक रेखा) या शीर्ष पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं तक सिमट जाता है। ये अपभ्रष्ट स्थितियाँ हैं, और ये आगे चलकर द्वितीय घात के कुछ समीकरणों के हलों के रूप में फिर से प्रकट होंगी, दो अन्य स्थितियों के साथ जो शंकु को काटने से प्राप्त नहीं होतीं: समांतर रेखाओं का युग्म, जो बेलन को काटने से प्राप्त होता है, और रिक्त समुच्चय। फिर भी, वृत्त कोई चौथा कुल नहीं है, बल्कि वह दीर्घवृत्त है जो समतल की लंब स्थिति के संगत है।

शंकु को काटने से प्राप्त वक्र उन्हीं वक्रों से मेल खाते हैं जिन्हें पहले के पाठों ने नाभियों के द्वारा परिभाषित किया था, यह तथ्य डैंडलिन प्रमेय है। इसका प्रमाण इस पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है, क्योंकि इसके लिए त्रिविम ज्यामिति (शंकु के अंतर्गत और काटने वाले समतल को स्पर्श करने वाले गोले, जिनके समतल के साथ स्पर्श-बिंदु ही नाभियाँ हैं) की आवश्यकता होती है; इसलिए यहाँ शंकु के परिच्छेद केवल एक दृश्य चित्र का काम करते हैं, और प्रयुक्त परिभाषाएँ दूरियों वाली परिभाषाएँ हैं।