Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas

Resumo

Esta aula reúne numa só teoria as curvas estudadas nas aulas precedentes. Apresenta as seções cônicas como as curvas que resultam de cortar um cone duplo com um plano, relembra as suas equações canônicas e mostra que toda equação do segundo grau sem termo em $xy$ representa uma parábola, uma elipse, uma hipérbole ou um dos seus casos degenerados: um ponto, uma ou duas retas, ou nenhum ponto. Completar os quadrados basta para decidir de que curva se trata e para ler o seu centro ou o seu vértice, os seus semieixos e os seus focos. Termina com a excentricidade, que reúne as três curvas numa só definição por meio de um foco e de uma diretriz, e com a interseção de cônicas e retas.

Objetivos de aprendizagem

Reconhecer as seções cônicas como cortes de um cone duplo por um plano, incluídos os seus casos degenerados.
Levar uma equação do segundo grau sem termo em $xy$ à sua equação canônica completando quadrados, e decidir pelos sinais dos seus coeficientes que curva representa.
Obter o centro ou o vértice, os semieixos, os focos, a diretriz e as assíntotas de uma cônica dada pela sua equação geral, e traçar o seu gráfico.
Usar a excentricidade para descrever as cônicas como lugares geométricos, e o discriminante para estudar as suas interseções com retas.

As seções cônicas

Considere-se um cone duplo: a superfície que gera uma reta, a geratriz, ao girar em torno de outra reta, o eixo, que ela corta num ponto fixo, o vértice do cone. A superfície tem duas folhas, uma de cada lado do vértice. Se ela é cortada por um plano que não passa pelo vértice, a curva que resulta depende do ângulo que o plano forma com o eixo, comparado com o ângulo que cada geratriz forma com o eixo.

Se o plano é perpendicular ao eixo, a curva é uma circunferência.
Se o plano forma com o eixo um ângulo maior que o da geratriz, corta todas as geratrizes de uma só folha e a curva é uma elipse, fechada.
Se o plano forma com o eixo o mesmo ângulo que a geratriz, isto é, se é paralelo a uma geratriz, corta uma só folha e a curva é uma parábola, aberta.
Se o plano forma com o eixo um ângulo menor que o da geratriz, corta as duas folhas e a curva é uma hipérbole, com dois ramos.

Se o plano passa pelo vértice do cone, a interseção reduz-se a um ponto, a uma reta (uma geratriz) ou a duas retas que se cortam no vértice. Estes são os casos degenerados, e reaparecerão mais adiante como soluções de certas equações do segundo grau, junto com outros dois que não se obtêm cortando um cone: o par de retas paralelas, que resulta de cortar um cilindro, e o conjunto vazio. Ora, a circunferência não é uma quarta família, mas a elipse que corresponde à posição perpendicular do plano.

Que as curvas obtidas ao cortar o cone coincidam com as que as aulas precedentes definiram por meio de focos é o teorema de Dandelin. A sua demonstração fica fora do alcance deste curso, porque exige geometria espacial (as esferas inscritas no cone e tangentes ao plano de corte, cujos pontos de contato com o plano são os focos); por isso, aqui os cortes do cone servem só de imagem, e as definições que se usam são as de distâncias.