A equação da hipérbole e sua dedução

Definição de hipérbole

Na aula sobre a equação da elipse e da circunferência, a elipse foi definida como o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. A hipérbole resulta de substituir a soma pela diferença.

Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do plano, os focos, separados por uma distância $2c$, e seja $a$ um número com $0 < a < c$. A hipérbole de focos $F_1$ e $F_2$ é o conjunto dos pontos $P$ do plano cujas distâncias aos focos diferem exatamente em $2a$, seja qual for o foco mais próximo.

Em símbolos, se $d_1$ e $d_2$ são as distâncias de $P$ a $F_1$ e a $F_2$, o ponto $P$ pertence à hipérbole quando cumpre uma das duas equações abaixo; os pontos que cumprem a primeira estão mais perto de $F_2$ e formam um ramo, e os que cumprem a segunda, mais perto de $F_1$, formam o outro:

A condição $0 < a < c$ não é arbitrária. No triângulo de vértices $P$, $F_1$ e $F_2$, a diferença entre dois lados é sempre menor que o terceiro, que mede $2c$; daí se segue que nenhum ponto fora da reta que passa pelos focos pode ter uma diferença de distâncias igual ou maior que $2c$. Se $a = c$, os únicos pontos que cumprem a condição são os das duas semirretas que partem dos focos para fora, e se $a > c$, não há nenhum; a primeira destas afirmações segue-se do caso de igualdade da desigualdade triangular, demonstrado na aula sobre os vetores no plano: aplicado a $\vec{u} = \vec{PF_2}$ e $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$, a igualdade $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ exige que um desses vetores seja o produto do outro por um número não negativo, isto é, que $P$ esteja sobre a reta dos focos e que $F_2$ fique entre $P$ e $F_1$ (ou coincida com $P$); se $a = 0$, a condição diz que $P$ equidista dos focos e descreve a mediatriz do segmento que une os focos. Nenhum desses conjuntos é uma hipérbole, e por isso são excluídos.

O ponto médio do segmento que une os focos é o centro da hipérbole, e a reta que passa pelos focos é o seu eixo focal. Os dois pontos da hipérbole situados sobre o eixo focal são os seus vértices; a distância entre eles é $2a$, de modo que cada vértice está a uma distância $a$ do centro.