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Topos Uranos
Português

Inequações no plano e programação linear

Resumo

Esta aula leva ao plano o estudo das inequações. Demonstra que uma reta divide o plano em dois semiplanos, em cada um dos quais a expressão linear que a define conserva o sinal, e daí obtém o método do ponto de teste. Descreve a região solução de um sistema de inequações lineares como uma interseção de semiplanos, com seus vértices, e prova que ela é convexa; estuda depois as regiões limitadas por cônicas. Termina com a programação linear: a busca do máximo ou do mínimo de uma função linear sobre uma região poligonal, cujo teorema fundamental garante que, num polígono convexo limitado, ambos são atingidos em vértices e que, numa região não limitada com algum vértice, todo ótimo que exista é atingido também em um deles, e com problemas de produção, de dieta e de transporte.

Objetivos de aprendizagem

  1. Representar o conjunto solução de uma inequação linear em duas variáveis como um semiplano, aberto ou fechado, por meio de um ponto de teste.
  2. Determinar a região solução de um sistema de inequações lineares, seus vértices e seu caráter limitado ou não limitado, e justificar sua convexidade.
  3. Descrever por meio de desigualdades regiões limitadas por retas e cônicas, e representar as regiões assim descritas.
  4. Formular e resolver problemas de programação linear em duas variáveis com o teorema dos vértices e as retas de nível, distinguindo o ótimo único, os ótimos múltiplos e a ausência de ótimo.

Os semiplanos

Na aula sobre a equação da reta viu-se que toda reta é o conjunto dos pontos que satisfazem uma equação Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, com AA e BB não ambos nulos: se B≠0B \neq 0, isola-se y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, reta de coeficiente angular −AB-\frac{A}{B}; se B=0B = 0, a equação se reduz a x=−CAx = -\frac{C}{A}, reta vertical. Se, em vez da igualdade, se pede uma desigualdade, o conjunto solução deixa de ser uma curva e passa a ser uma região. Na aula sobre equações e inequações do primeiro grau, uma inequação linear em uma incógnita tinha por solução um intervalo da reta real; com duas incógnitas, a solução é um semiplano.

Sejam rr uma reta não vertical e P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) um ponto. Diremos que PP está acima de rr se y0y_0 é maior que a ordenada do ponto de rr de abscissa x0x_0, e abaixo se é menor. Se rr é vertical, fala-se do mesmo modo dos pontos situados à sua direita e à sua esquerda. Cada um desses dois conjuntos é um semiplano aberto de fronteira rr; se a ele se acrescenta a reta, é um semiplano fechado.

TeoremaOs semiplanos

Sejam rr a reta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, com AA e BB não ambos nulos, e E(x,y)=Ax+By+CE(x, y) = Ax + By + C. A expressão EE tem sinal constante de cada lado de rr: é positiva em todos os pontos de um dos dois semiplanos abertos e negativa em todos os do outro. Mais precisamente, se B>0B > 0, é positiva acima de rr e negativa abaixo; se B<0B < 0, ao contrário; e se B=0B = 0, é positiva à direita de rr quando A>0A > 0, e à sua esquerda quando A<0A < 0.

Demonstração

  1. Ax0+By1+C=0\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}

    Seja P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) um ponto que não está em rr, e suponhamos primeiro B≠0B \neq 0. A reta vertical que passa por PP corta rr em um único ponto Q=(x0,y1)Q = (x_0, y_1), cuja ordenada se obtém isolando yy na equação de rr; o ponto QQ satisfaz essa equação.

  2. E(x0,y0)=(Ax0+By0+C)−(Ax0+By1+C)=B⋅(y0−y1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}

    Subtraímos esse zero do valor de EE em PP: os termos em x0x_0 e as constantes se cancelam, e resta um produto.

  3. B>0→(E(x0,y0)>0↔y0>y1)B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)

    Se B>0B > 0, pela regra dos sinais estudada na aula sobre quadros de sinais e inequações, o produto tem o sinal de y0−y1y_0 - y_1: é positivo quando PP está acima de rr e negativo quando está abaixo.

  4. B<0→(E(x0,y0)>0↔y0<y1)B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)

    Se B<0B < 0, o produto tem o sinal contrário ao de y0−y1y_0 - y_1: a expressão é negativa acima de rr e positiva abaixo.

  5. E(x0,y0)=(Ax0+C)−(Ax1+C)=A⋅(x0−x1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}

    Se B=0B = 0, então A≠0A \neq 0 e rr é a reta vertical x=x1x = x_1, com x1=−CAx_1 = -\frac{C}{A}. Repete-se o cálculo com o ponto de rr que tem a ordenada de PP.

  6. A>0→(E(x0,y0)>0↔x0>x1)A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)

    Se A>0A > 0, a expressão é positiva exatamente quando x0>x1x_0 > x_1, isto é, à direita de rr; se A<0A < 0, à sua esquerda. Em todos os casos, o sinal de EE em um ponto depende só do lado de rr em que está o ponto.

O teorema diz mais do que se usa na prática: não é preciso lembrar que sinal corresponde a cada lado, porque basta conhecer o sinal de EE em um único ponto de um lado para conhecê-lo em todos. Este é o método do ponto de teste.

Para representar uma inequação Ax+By+C>0Ax + By + C > 0, ou com <<, ≥\ge ou ≤\le, traça-se a reta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 e calcula-se o valor da expressão em um ponto de teste que não esteja nela, em geral a origem. Se o ponto satisfaz a inequação, o conjunto solução é o semiplano que o contém; se não a satisfaz, é o outro. Se a desigualdade é estrita, a reta não faz parte do conjunto solução e se desenha tracejada; se não é, faz parte dele e se desenha contínua.
ExemploUm semiplano pelo ponto de teste

Representar o conjunto solução da inequação 2x−3y+6>02x - 3y + 6 > 0.

Demonstração

  1. 2x−3y+6=0,(0,2),(−3,0)2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)

    Traçamos a reta fronteira por suas interseções com os eixos: com x=0x = 0 obtém-se y=2y = 2, e com y=0y = 0, x=−3x = -3.

  2. 2⋅0−3⋅0+6=6>02 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0

    A origem não está na reta. Calculamos nela o valor da expressão: é positivo, de modo que a origem satisfaz a inequação.

  3. 2x−3y+6>0↔y<23x+22x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}

    O conjunto solução é o semiplano que contém a origem. O teorema o confirma: como B=−3<0B = -3 < 0, a expressão é positiva abaixo da reta.

  4. 2⋅(−3)−3⋅0+6=02 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}

    A desigualdade é estrita: os pontos da reta, como (−3,0)(-3, 0), anulam a expressão e não a satisfazem. A fronteira fica excluída e se desenha tracejada.