معادلة القطع الزائد واشتقاقها

تعريف القطع الزائد

في الدرس الخاص بـمعادلة القطع الناقص والدائرة، عُرّف القطع الناقص بأنه مجموعة النقاط التي يكون مجموع بُعدي كل منها عن بؤرتين ثابتًا. والقطع الزائد ينتج من وضع الفرق مكان المجموع.

لتكن $F_1$ و$F_2$ نقطتين مختلفتين من المستوى، هما البؤرتان، تفصل بينهما مسافة $2c$، وليكن $a$ عددًا يحقق $0 < a < c$. القطع الزائد الذي بؤرتاه $F_1$ و$F_2$ هو مجموعة النقاط $P$ من المستوى التي يختلف بُعداها عن البؤرتين بمقدار $2a$ تمامًا، أيًّا كانت البؤرة الأقرب.

وبالرموز، إذا كان $d_1$ و$d_2$ بُعدي $P$ عن $F_1$ وعن $F_2$، فإن النقطة $P$ تنتمي إلى القطع الزائد عندما تحقق إحدى المعادلتين الآتيتين؛ والنقاط التي تحقق الأولى أقرب إلى $F_2$ وتؤلف فرعًا، والتي تحقق الثانية، وهي أقرب إلى $F_1$، تؤلف الفرع الآخر:

الشرط $0 < a < c$ ليس اعتباطيًا. ففي المثلث الذي رؤوسه $P$ و$F_1$ و$F_2$، يكون الفرق بين ضلعين أصغر دائمًا من الضلع الثالث، الذي طوله $2c$؛ ومن ذلك يلزم أنه لا يمكن لأي نقطة خارج المستقيم المار بالبؤرتين أن يكون فرق بُعديها مساويًا لـ$2c$ أو أكبر منه. وإذا كان $a = c$، فإن النقاط الوحيدة التي تحقق الشرط هي نقاط نصفي المستقيم اللذين ينطلقان من البؤرتين نحو الخارج، وإذا كان $a > c$، فلا توجد أي نقطة؛ والأولى من هاتين القضيتين تلزم عن حالة المساواة في متباينة المثلث، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـالمتجهات في المستوى: فبتطبيقها على $\vec{u} = \vec{PF_2}$ و$\vec{v} = \vec{F_2F_1}$، تقتضي المساواة $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ أن يكون أحد هذين المتجهين جداء الآخر في عدد غير سالب، أي أن تقع $P$ على مستقيم البؤرتين وأن تقع $F_2$ بين $P$ و$F_1$ (أو تنطبق على $P$)؛ وإذا كان $a = 0$، فإن الشرط يقول إن $P$ متساوية البعد عن البؤرتين، ويصف محور القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين. ولا شيء من هذه المجموعات قطع زائد، ولذلك تُستبعد.

منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين هو مركز القطع الزائد، والمستقيم المار بالبؤرتين هو محوره البؤري. والنقطتان من القطع الزائد الواقعتان على المحور البؤري هما رأساه؛ والمسافة بينهما $2a$، ومن ثم يبعد كل رأس عن المركز مسافة $a$.