Geometria analítica do plano: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade dedicada à geometria analítica do plano. Reúne numa cadeia dedutiva o que foi demonstrado em suas nove aulas, desde a fórmula da distância até o teorema dos vértices da programação linear; mostra como a unidade se apoia nas precedentes, em particular no completamento de quadrados, no discriminante e nos quadros de sinais, e como prepara a próxima unidade, cujas funções transcendentes descrevem de novo a hipérbole. Propõe depois uma avaliação de saída, paralela à de entrada, e termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas propostos nas aulas, que exigem combinar várias delas e encontrar em cada caso a ideia que abre o caminho.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar os resultados principais da unidade e explicar como cada um depende dos precedentes.
Relacionar os métodos da unidade com os das unidades precedentes e com os da próxima unidade.
Resolver problemas que combinam retas, vetores, cônicas e desigualdades, escolhendo entre a definição métrica de uma curva, sua equação e o discriminante o instrumento mais eficaz.
Traduzir condições de mínimo, de tangência e de lugar geométrico em equações, e verificar que a equação obtida descreve exatamente o conjunto procurado.

O que a unidade alcançou

As coordenadas, a reta e os vetores

A unidade começou com uma só ideia: identificar cada ponto do plano com o par de suas coordenadas. Daí se seguiu, na aula sobre a equação da reta, que a distância entre dois pontos é uma consequência do teorema de Pitágoras e que o coeficiente angular de uma reta não depende dos pontos com que se calcula, pela semelhança de triângulos. Esses dois teoremas, com a livre escolha dos eixos, a igualdade dos ângulos correspondentes entre paralelas, a soma dos ângulos de um triângulo e os ângulos do triângulo isósceles, são os fatos da geometria euclidiana que a unidade admite explicitamente ao começar, porque sua demonstração pertence à construção axiomática dessa geometria. Da invariância do coeficiente angular deduziu-se que os pontos de uma reta são exatamente as soluções de uma equação $Ax + By + C = 0$ ; de um cálculo com as equações de duas retas, que duas retas não verticais são paralelas se e somente se têm o mesmo coeficiente angular; do teorema de Pitágoras e sua recíproca, com a igualdade dos ângulos correspondentes, que são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares é $-1$ ; e do teorema de Pitágoras, que a perpendicular traçada de um ponto é o caminho mais curto até a reta.

A aula sobre os vetores no plano reformulou esses resultados sem depender da escolha dos eixos. Os vetores, com sua soma e seu produto por um escalar, cumprem os oito axiomas de espaço vetorial; o produto escalar decide a perpendicularidade pela condição $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , que já não exclui as retas verticais, e fornece a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a desigualdade triangular e a projeção ortogonal. Daí se obtiveram a equação vetorial da reta, o vetor normal $\left( A, B \right)$ da reta $Ax + By + C = 0$ e a fórmula da distância de um ponto a uma reta, que reaparece em quase todas as aulas posteriores:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

As cônicas definidas por distâncias

As cinco aulas que vieram depois aplicaram um mesmo método a quatro curvas: definir a curva por uma propriedade de distâncias, traduzi-la numa equação elevando ao quadrado e demonstrar depois a recíproca, porque elevar ao quadrado pode acrescentar pontos estranhos. A aula sobre a equação das parábolas definiu a parábola por um foco e uma diretriz, demonstrou que os gráficos dos polinômios quadráticos são exatamente as parábolas de eixo vertical e estabeleceu sua propriedade refletora; a sobre a caracterização das parábolas obteve, completando o quadrado, seus elementos em função dos coeficientes, demonstrou que o vértice é o ponto extremo e que o discriminante decide as interseções com o eixo horizontal.

A aula sobre as elipses e as circunferências definiu a elipse pela soma constante $2a$ das distâncias a dois focos, deduziu sua equação reduzida com $b^2 = a^2 - c^2$ e demonstrou que as distâncias de cada ponto aos focos são $a + ex$ e $a - ex$ ; a circunferência revelou-se a elipse de focos coincidentes. A aula sobre a circunferência mediu a posição de um ponto por sua potência, decidiu a de uma reta comparando com o raio a distância do centro, demonstrou que a tangente é perpendicular ao raio, classificou as seis posições de duas circunferências por meio de seu eixo radical e demonstrou o teorema da potência de um ponto, do qual se seguem o teorema das cordas, o da secante e da tangente e o do centro radical. A aula sobre as hipérboles substituiu a soma pela diferença, com $c^2 = a^2 + b^2$ , estudou as assíntotas, demonstrou que o gráfico de $y = \frac{1}{x}$ é uma hipérbole equilátera e mostrou que uma reta paralela a uma assíntota corta a hipérbole num só ponto sem ser tangente.

A teoria unificada e as desigualdades

A aula sobre as seções cônicas reuniu as quatro curvas numa só teoria. Toda equação $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ representa, segundo o sinal de $AC$ e o do segundo membro $G$ que resulta do completamento dos quadrados, uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou um de seus casos degenerados; e o teorema do foco e da diretriz descreve a elipse, a parábola e a hipérbole como os lugares em que a razão entre a distância a um foco e a distância a uma diretriz é um número fixo $e$ , menor, igual ou maior que $1$ .

A última aula, sobre as inequações no plano e a programação linear, passou das igualdades às desigualdades. O teorema dos semiplanos assegura que a expressão $Ax + By + C$ conserva seu sinal de cada lado da reta, donde o método do ponto de teste; as regiões definidas por inequações lineares são convexas, porque uma expressão linear varia ao longo de um segmento entre seus valores nos extremos; uma expressão do segundo grau que não se anula num segmento conserva nele seu sinal, e por isso o método do ponto de teste vale também para as regiões limitadas por cônicas; e uma função linear atinge seu máximo e seu mínimo sobre um polígono convexo limitado num de seus vértices. Se a região não é limitada, o ótimo pode não existir, e mesmo existindo pode não ser atingido num vértice, como numa faixa; mas se a região tem algum vértice, isto é, se não contém retas inteiras, todo ótimo que exista é atingido também num deles.

Três instrumentos atravessam toda a unidade. O primeiro é a fórmula da distância, na qual repousam todas as definições de curvas. O segundo é o completamento de quadrados, que leva cada equação do segundo grau à forma em que se leem seus elementos. O terceiro é o discriminante, que decide em todas as cônicas se uma reta as corta em dois pontos, em um ou em nenhum, e que, com a precaução das retas paralelas ao eixo da parábola ou às assíntotas da hipérbole, caracteriza as tangentes sem recorrer a limites.

A figura abaixo reúne os três trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que se admitem ou provêm de unidades precedentes, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AGeometria euclidiana. Admitem-se, no começo da unidade, a livre escolha dos eixos, o teorema de Pitágoras e sua recíproca, a igualdade dos ângulos correspondentes entre paralelas, o teorema de Tales e a semelhança de triângulos, a soma dos ângulos de um triângulo e a igualdade dos ângulos opostos aos lados iguais de um triângulo isósceles. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BFórmula da distância. A distância entre $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; nela repousam todas as definições de curvas da unidade. Estabelecido em: 1. Distância e ponto médio.
CEquação geral da reta. Os pontos de toda reta são exatamente as soluções de uma equação $Ax + By + C = 0$ , com $A$ e $B$ não ambos nulos. Estabelecido em: 2. Equação da reta.
DDistância de um ponto a uma reta. A distância do ponto $(x_1, y_1)$ à reta $Ax + By + C = 0$ é $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Estabelecido em: 10. Distância de um ponto a uma reta.
ECompletamento de quadrados. Vale $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , com $\Delta = b^2 - 4ac$ ; demonstrado na unidade sobre as funções algébricas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FDiscriminante. Uma equação quadrática tem duas raízes, uma dupla ou nenhuma conforme seu discriminante seja positivo, nulo ou negativo, e sem raízes o polinômio conserva o sinal de seu coeficiente dominante; demonstrado na unidade sobre as funções algébricas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GTranslação de gráficos. Substituir $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$ translada um gráfico $h$ unidades na horizontal e $k$ na vertical; demonstrado na unidade sobre as funções algébricas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
HRegra dos sinais. Um produto de dois fatores é positivo se eles têm o mesmo sinal e negativo se têm sinais contrários; é o fundamento dos quadros de sinais da unidade sobre as funções algébricas. Admitido sem demonstração nesta unidade.

Trecho 1 As coordenadas, a reta e os vetores
- Obter do teorema de Pitágoras a distância entre dois pontos e o ponto médio de um segmento.
- Demonstrar que os pontos de uma reta são exatamente as soluções de uma equação do primeiro grau, e caracterizar o paralelismo e a perpendicularidade pelos coeficientes angulares.
- Dotar os vetores do plano da soma, do produto por um escalar, da norma e do produto escalar, e deduzir a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a desigualdade triangular e a projeção ortogonal.
- Obter a equação vetorial da reta, seu vetor normal e a distância de um ponto a uma reta.
1. Distância e ponto médio. A distância entre $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$ é $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , e o ponto $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ divide o segmento em duas metades iguais.
  Apoia-se em: A (Geometria euclidiana). Demonstrado em: A equação da reta e os sistemas cartesianos.
2. Equação da reta. O coeficiente angular não depende dos pontos com que se calcula, e um ponto está na reta de coeficiente angular $m$ que passa por $(x_0, y_0)$ se e somente se $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; daí, toda reta tem uma equação $Ax + By + C = 0$ .
  Apoia-se em: A (Geometria euclidiana). Demonstrado em: A equação da reta e os sistemas cartesianos.
3. Paralelas e perpendiculares. Duas retas não verticais distintas são paralelas se e somente se têm o mesmo coeficiente angular, e perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares é $-1$ .
  Usa: 2. Equação da reta. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância). Demonstrado em: A equação da reta e os sistemas cartesianos.
4. A perpendicular é o caminho mais curto. Se $Q$ é o pé da perpendicular traçada de $P$ à reta $r$ , todo outro ponto $R$ de $r$ cumpre $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Usa: 3. Paralelas e perpendiculares. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância). Demonstrado em: A equação da reta e os sistemas cartesianos.
5. Operações com vetores. A soma de vetores e o produto por um escalar cumprem os oito axiomas de espaço vetorial, e dois vetores não nulos com $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ geram cada vetor do plano de uma única maneira.
  Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
6. Produto escalar e perpendicularidade. O produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ é comutativo e distributivo, cumpre $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , e dois vetores são perpendiculares se e somente se $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Usa: 5. Operações com vetores. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância). Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
7. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular. Vale $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , donde $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ e, para três pontos, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Usa: 6. Produto escalar e perpendicularidade. Apoia-se em: F (Discriminante). Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
8. Projeção ortogonal. Se $\vec{v}$ não é nulo, há um único número $t$ tal que $\vec{u} - t \vec{v}$ é perpendicular a $\vec{v}$ , a saber, $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Usa: 6. Produto escalar e perpendicularidade. Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
9. Equação vetorial e vetor normal. Os pontos da reta que passa por $P_0$ com vetor diretor $\vec{d}$ são os pontos $P_0 + t \vec{d}$ , cada um com um único parâmetro $t$ ; e $\vec{n} = \left( A, B \right)$ é perpendicular à reta $Ax + By + C = 0$ , cujos pontos são os pontos $P$ com $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  Usa: 2. Equação da reta, 6. Produto escalar e perpendicularidade. Apoia-se em: C (Equação geral da reta). Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
10. Distância de um ponto a uma reta. A distância de $(x_1, y_1)$ à reta $Ax + By + C = 0$ é $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , e é atingida no pé da perpendicular.
  Usa: 4. A perpendicular é o caminho mais curto, 8. Projeção ortogonal, 9. Equação vetorial e vetor normal. Apoia-se em: C (Equação geral da reta). Demonstrado em: Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
Trecho 2 As cônicas definidas por distâncias
- Definir a parábola por um foco e uma diretriz, obter sua equação e demonstrar que os gráficos dos polinômios quadráticos são exatamente as parábolas de eixo vertical.
- Ler, completando o quadrado, o vértice da parábola e decidir com o discriminante suas interseções com o eixo horizontal.
- Deduzir a equação reduzida da elipse e a fundamental da hipérbole, com a demonstração da recíproca, e reconhecer a circunferência como a elipse de focos coincidentes.
- Estudar a posição de uma reta e de outra circunferência em relação a uma circunferência, e demonstrar o teorema da potência de um ponto.
- Caracterizar as tangentes às cônicas por meio do discriminante, com a precaução das retas paralelas ao eixo ou às assíntotas, e tratar à parte as retas verticais.
1. Equação da parábola. Os pontos que equidistam do foco $(h, k + f)$ e da diretriz $y = k - f$ são exatamente os da curva $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , simétrica em relação a seu eixo $x = h$ .
  Apoia-se em: B (Fórmula da distância), G (Translação de gráficos). Demonstrado em: A equação da parábola: definições e propriedades.
2. Parábola e polinômio quadrático. Os gráficos de $y = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ , são exatamente as parábolas de eixo vertical, com $f = \frac{1}{4a}$ , cujo valor absoluto é a distância focal.
  Usa: 11. Equação da parábola. Apoia-se em: E (Completamento de quadrados). Demonstrado em: A equação da parábola: definições e propriedades.
3. Propriedade refletora. A tangente num ponto $P$ da parábola forma ângulos iguais com a paralela ao eixo traçada por $P$ e com a reta que une $P$ ao foco.
  Usa: 11. Equação da parábola. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância), F (Discriminante). Demonstrado em: A equação da parábola: definições e propriedades.
4. Vértice e interseções com o eixo. O vértice de $y = ax^2 + bx + c$ é $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , seu ponto mais baixo se $a > 0$ e o mais alto se $a < 0$ , e a parábola corta o eixo $x$ em dois pontos, em um ou em nenhum conforme $\Delta$ seja positivo, nulo ou negativo.
  Usa: 12. Parábola e polinômio quadrático. Apoia-se em: E (Completamento de quadrados), F (Discriminante). Demonstrado em: Caracterização das parábolas e seus gráficos.
5. Equação reduzida da elipse. Com $b^2 = a^2 - c^2$ , a elipse de focos $(\pm c, 0)$ e soma das distâncias $2a$ é exatamente a curva $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , e as distâncias de cada ponto aos focos são $a + \frac{c}{a} x$ e $a - \frac{c}{a} x$ .
  Apoia-se em: B (Fórmula da distância). Demonstrado em: A equação da elipse e da circunferência.
6. Equação da circunferência. A circunferência de centro $(h, k)$ e raio $r$ é a curva $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , e é a elipse cujos dois focos coincidem com o centro.
  Usa: 15. Equação reduzida da elipse. Apoia-se em: B (Fórmula da distância), G (Translação de gráficos). Demonstrado em: A equação da elipse e da circunferência.
7. Tangência à elipse. Uma reta não vertical é tangente à elipse se e somente se o discriminante da equação que resulta de substituí-la é nulo; se é positivo, a reta a corta em dois pontos, e se é negativo, não a toca. As únicas tangentes verticais são $x = a$ e $x = -a$ .
  Usa: 15. Equação reduzida da elipse. Apoia-se em: F (Discriminante). Demonstrado em: A equação da elipse e da circunferência.
8. Posição de uma reta. Se $\delta$ é a distância do centro a uma reta, esta não toca a circunferência se $\delta > r$ , toca-a só no pé da perpendicular se $\delta = r$ e corta-a em dois pontos se $\delta < r$ .
  Usa: 4. A perpendicular é o caminho mais curto, 16. Equação da circunferência. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), D (Distância de um ponto a uma reta), F (Discriminante). Demonstrado em: A circunferência: tangentes, posições relativas e potência.
9. A tangente é perpendicular ao raio. Uma reta que passa por um ponto $T$ da circunferência é tangente se e somente se é perpendicular ao raio que une o centro a $T$ ; por cada ponto passa uma só tangente.
  Usa: 3. Paralelas e perpendiculares, 4. A perpendicular é o caminho mais curto, 18. Posição de uma reta. Demonstrado em: A circunferência: tangentes, posições relativas e potência.
10. Eixo radical e posições relativas. Os pontos de igual potência em relação a duas circunferências de centros distintos formam uma reta perpendicular à dos centros, e ambas têm dois pontos comuns se $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , um se $d$ é igual a um desses extremos, caso em que, exceto o de contato, os pontos da menor ficam dentro da maior na tangência interior e os de cada uma fora da outra na exterior, e nenhum nos demais casos.
  Usa: 3. Paralelas e perpendiculares, 7. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular, 16. Equação da circunferência, 18. Posição de uma reta. Apoia-se em: C (Equação geral da reta), D (Distância de um ponto a uma reta). Demonstrado em: A circunferência: tangentes, posições relativas e potência.
11. Potência de um ponto. Se uma reta que passa por $P$ corta a circunferência em $A$ e $B$ , vale $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , com $p = d^2 - r^2$ ; e de um ponto exterior saem exatamente duas tangentes, ambas de comprimento $\sqrt{p}$ .
  Usa: 18. Posição de uma reta, 19. A tangente é perpendicular ao raio, 20. Eixo radical e posições relativas. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana). Demonstrado em: A circunferência: tangentes, posições relativas e potência.
12. Equação da hipérbole. Com $b^2 = c^2 - a^2$ , a hipérbole de focos $(\pm c, 0)$ e diferença de distâncias $2a$ é exatamente a curva $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , cujos ramos se aproximam das assíntotas $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
  Apoia-se em: B (Fórmula da distância). Demonstrado em: A equação da hipérbole e sua dedução.
13. Hipérbole equilátera. O gráfico de $y = \frac{1}{x}$ é a hipérbole de focos $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ e $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ cujas distâncias a eles diferem em $2\sqrt{2}$ ; é equilátera e suas assíntotas são os eixos.
  Usa: 22. Equação da hipérbole. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância). Demonstrado em: A equação da hipérbole e sua dedução.
14. Tangência à hipérbole. Uma reta não paralela às assíntotas é tangente à hipérbole exatamente quando o discriminante é nulo; uma paralela a uma assíntota, sem coincidir com ela, corta-a num só ponto e a atravessa; e as únicas tangentes verticais são $x = a$ e $x = -a$ .
  Usa: 22. Equação da hipérbole. Apoia-se em: F (Discriminante). Demonstrado em: A equação da hipérbole e sua dedução.
Trecho 3 A teoria unificada e as desigualdades
- Classificar as equações $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ pelo sinal de $AC$ e pelo segundo membro que resulta do completamento dos quadrados.
- Descrever a elipse, a parábola e a hipérbole como lugares de um foco e uma diretriz, segundo sua excentricidade.
- Demonstrar que uma expressão linear conserva seu sinal de cada lado de sua reta e fundar nisso o método do ponto de teste.
- Provar que as regiões definidas por inequações lineares são convexas, estender o método do ponto de teste às cônicas e demonstrar que uma função linear atinge seus valores extremos sobre um polígono convexo limitado num vértice, e num vértice também sobre uma região ilimitada com vértices quando esses valores existem.
1. Equação geral do segundo grau. Toda equação $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , com $A$ e $C$ não ambos nulos, representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola conforme $AC$ seja positivo, negativo ou nulo, ou um de seus casos degenerados, entre os quais decide o segundo membro $G$ que resulta do completamento dos quadrados.
  Usa: 11. Equação da parábola, 15. Equação reduzida da elipse, 16. Equação da circunferência, 22. Equação da hipérbole. Apoia-se em: E (Completamento de quadrados), F (Discriminante), G (Translação de gráficos). Demonstrado em: Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas.
2. Teorema do foco e da diretriz. Os pontos cuja distância a um foco $F$ é $e$ vezes sua distância a uma diretriz $L$ formam uma elipse se $e < 1$ , uma parábola se $e = 1$ e uma hipérbole se $e > 1$ .
  Usa: 11. Equação da parábola, 15. Equação reduzida da elipse, 22. Equação da hipérbole, 25. Equação geral do segundo grau. Apoia-se em: A (Geometria euclidiana), B (Fórmula da distância), E (Completamento de quadrados). Demonstrado em: Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas.
3. Diretrizes da elipse e da hipérbole. Na elipse e na hipérbole de excentricidade $e = \frac{c}{a}$ , a distância de cada ponto ao foco $(c, 0)$ é $e$ vezes sua distância à reta $x = \frac{a}{e}$ ; a circunferência, em contrapartida, não tem diretriz.
  Usa: 15. Equação reduzida da elipse, 22. Equação da hipérbole, 26. Teorema do foco e da diretriz. Demonstrado em: Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas.
4. Teorema dos semiplanos. A expressão $Ax + By + C$ é positiva em todos os pontos de um dos lados da reta $Ax + By + C = 0$ e negativa em todos os do outro; daí, o método do ponto de teste.
  Apoia-se em: C (Equação geral da reta), H (Regra dos sinais). Demonstrado em: Inequações no plano e programação linear.
5. Expressões ao longo de um segmento. Sobre o segmento de extremos $P$ e $Q$ , uma expressão linear cumpre $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , de modo que as regiões solução dos sistemas de inequações lineares são convexas; e uma expressão do segundo grau que não se anula num segmento conserva nele seu sinal, de modo que cada cônica divide o plano em regiões, duas ou três, nas quais vale o método do ponto de teste.
  Usa: 2. Equação da reta, 28. Teorema dos semiplanos, 7. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular, 14. Vértice e interseções com o eixo. Apoia-se em: F (Discriminante), H (Regra dos sinais). Demonstrado em: Inequações no plano e programação linear.
6. Teorema dos vértices. Uma função $ax + by + c$ atinge seu máximo e seu mínimo sobre a região, não vazia e limitada, de um sistema de inequações lineares não estritas, e cada um em algum de seus vértices; se a região não é limitada mas tem um vértice, isto é, se não contém retas inteiras, todo máximo ou mínimo que seja atingido é atingido também num vértice.
  Usa: 29. Expressões ao longo de um segmento. Demonstrado em: Inequações no plano e programação linear.

Rumo às funções transcendentes. A cadeia culmina o estudo das curvas algébricas de grau um e dois. A próxima unidade sai das funções algébricas, mas a hipérbole reaparece nela: as áreas sob $y = \frac{1}{x}$ comportam-se como logaritmos, e o ponto $(\cosh t, \sinh t)$ percorre o ramo direito de $x^2 - y^2 = 1$ .