Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen

Zusammenfassung

Diese Lektion vereint in einer einzigen Theorie die Kurven, die in den früheren Lektionen untersucht wurden. Sie stellt die Kegelschnitte als die Kurven vor, die entstehen, wenn man einen Doppelkegel mit einer Ebene schneidet, wiederholt ihre Normalformen und zeigt, dass jede Gleichung zweiten Grades ohne Term mit $xy$ eine Parabel, eine Ellipse, eine Hyperbel oder einen ihrer ausgearteten Fälle darstellt: einen Punkt, eine oder zwei Geraden oder gar keinen Punkt. Das quadratische Ergänzen genügt, um zu entscheiden, um welche Kurve es sich handelt, und um ihren Mittelpunkt oder ihren Scheitel, ihre Halbachsen und ihre Brennpunkte abzulesen. Sie schließt mit der Exzentrizität, die die drei Kurven mithilfe eines Brennpunkts und einer Leitlinie in einer einzigen Definition vereint, und mit dem Schnitt von Kegelschnitten und Geraden.

Lernziele

Die Kegelschnitte als Schnitte eines Doppelkegels mit einer Ebene erkennen, einschließlich ihrer ausgearteten Fälle.
Eine Gleichung zweiten Grades ohne Term mit $xy$ durch quadratisches Ergänzen auf ihre Normalform bringen und an den Vorzeichen ihrer Koeffizienten entscheiden, welche Kurve sie darstellt.
Den Mittelpunkt oder den Scheitel, die Halbachsen, die Brennpunkte, die Leitlinie und die Asymptoten eines durch seine allgemeine Gleichung gegebenen Kegelschnitts bestimmen und seinen Graphen zeichnen.
Die Exzentrizität nutzen, um die Kegelschnitte als geometrische Orte zu beschreiben, und die Diskriminante, um ihre Schnitte mit Geraden zu untersuchen.

Die Kegelschnitte

Man betrachte einen Doppelkegel: die Fläche, die eine Gerade, die Mantellinie, erzeugt, wenn sie sich um eine andere Gerade dreht, die Achse, die sie in einem festen Punkt schneidet, der Spitze des Kegels. Die Fläche besteht aus zwei Kegelhälften, je einer auf jeder Seite der Spitze. Schneidet man sie mit einer Ebene, die nicht durch die Spitze geht, so hängt die entstehende Kurve von dem Winkel ab, den die Ebene mit der Achse bildet, verglichen mit dem Winkel, den jede Mantellinie mit der Achse bildet.

Steht die Ebene senkrecht zur Achse, so ist die Kurve ein Kreis.
Bildet die Ebene mit der Achse einen größeren Winkel als die Mantellinie, so schneidet sie alle Mantellinien einer einzigen Kegelhälfte, und die Kurve ist eine geschlossene Ellipse.
Bildet die Ebene mit der Achse denselben Winkel wie die Mantellinie, das heißt, ist sie zu einer Mantellinie parallel, so schneidet sie eine einzige Kegelhälfte, und die Kurve ist eine offene Parabel.
Bildet die Ebene mit der Achse einen kleineren Winkel als die Mantellinie, so schneidet sie beide Kegelhälften, und die Kurve ist eine Hyperbel mit zwei Ästen.

Geht die Ebene durch die Spitze des Kegels, so besteht der Schnitt nur aus einem Punkt, einer Geraden (einer Mantellinie) oder zwei Geraden, die sich in der Spitze schneiden. Das sind die ausgearteten Fälle; sie treten später als Lösungen gewisser Gleichungen zweiten Grades wieder auf, zusammen mit zwei anderen, die man nicht durch Schneiden eines Kegels erhält: dem Paar paralleler Geraden, das beim Schneiden eines Zylinders entsteht, und der leeren Menge. Dabei ist der Kreis keine vierte Familie, sondern die Ellipse, die der zur Achse senkrechten Lage der Ebene entspricht.

Dass die beim Schneiden des Kegels entstehenden Kurven mit denen übereinstimmen, die die früheren Lektionen mithilfe von Brennpunkten definiert haben, ist der Satz von Dandelin. Sein Beweis geht über den Rahmen dieses Kurses hinaus, weil er Raumgeometrie erfordert (die Kugeln, die dem Kegel einbeschrieben sind und die Schnittebene berühren und deren Berührpunkte mit der Ebene die Brennpunkte sind); deshalb dienen die Schnitte des Kegels hier nur als Bild, und die verwendeten Definitionen sind die über Abstände.