Analytische Geometrie der Ebene: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die analytische Geometrie der Ebene ab. Sie fasst in einer deduktiven Kette zusammen, was in ihren neun Lektionen bewiesen wurde, von der Abstandsformel bis zum Eckensatz der linearen Optimierung; sie zeigt, wie die Einheit auf den früheren aufbaut, insbesondere auf der quadratischen Ergänzung, der Diskriminante und den Vorzeichentabellen, und wie sie die folgende Einheit vorbereitet, deren transzendente Funktionen die Hyperbel erneut beschreiben. Danach bietet sie einen Abschlusstest an, der zum Eingangstest parallel ist, und endet mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die in den Lektionen gestellten Aufgaben, die verlangen, mehrere Lektionen zu verbinden und in jedem Fall die Idee zu finden, die den Weg öffnet.

Lernziele

Die Hauptresultate der Einheit formulieren und erklären, wie jedes von den vorangehenden abhängt.
Die Methoden der Einheit mit denen der früheren Einheiten und mit denen der folgenden Einheit in Beziehung setzen.
Aufgaben lösen, die Geraden, Vektoren, Kegelschnitte und Ungleichungen verbinden, und dabei zwischen der metrischen Definition einer Kurve, ihrer Gleichung und der Diskriminante das wirksamste Werkzeug wählen.
Bedingungen für ein Minimum, für eine Berührung und für einen geometrischen Ort in Gleichungen übersetzen und prüfen, dass die erhaltene Gleichung genau die gesuchte Menge beschreibt.

Was die Einheit erreicht hat

Die Koordinaten, die Gerade und die Vektoren

Die Einheit begann mit einer einzigen Idee: jeden Punkt der Ebene mit dem Paar seiner Koordinaten zu identifizieren. Daraus folgte in der Lektion über die Geradengleichung, dass der Abstand zweier Punkte eine Folgerung aus dem Satz des Pythagoras ist und dass die Steigung einer Geraden wegen der Ähnlichkeit von Dreiecken nicht von den Punkten abhängt, mit denen man sie berechnet. Diese beiden Sätze sind, zusammen mit der freien Wahl der Achsen, der Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen, der Winkelsumme im Dreieck und den Winkeln des gleichschenkligen Dreiecks, die Tatsachen der euklidischen Geometrie, welche die Einheit zu Beginn ausdrücklich annimmt, weil ihr Beweis zum axiomatischen Aufbau dieser Geometrie gehört. Aus der Unabhängigkeit der Steigung wurde gefolgert, dass die Punkte einer Geraden genau die Lösungen einer Gleichung $Ax + By + C = 0$ sind; aus einer Rechnung mit den Gleichungen zweier Geraden, dass zwei nicht vertikale Geraden genau dann parallel sind, wenn sie dieselbe Steigung haben; aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung, zusammen mit der Gleichheit der Stufenwinkel, dass sie genau dann senkrecht zueinander sind, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich $-1$ ist; und aus dem Satz des Pythagoras, dass das von einem Punkt gefällte Lot der kürzeste Weg zur Geraden ist.

Die Lektion über Vektoren in der Ebene formulierte diese Resultate neu, ohne von der Wahl der Achsen abzuhängen. Die Vektoren erfüllen mit ihrer Addition und ihren Vielfachen die acht Vektorraumaxiome; das Skalarprodukt entscheidet über die Orthogonalität durch die Bedingung $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , die vertikale Geraden nicht mehr ausschließt, und liefert die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die Dreiecksungleichung und die Orthogonalprojektion. Daraus ergaben sich die Vektorgleichung der Geraden, der Normalenvektor $\left( A, B \right)$ der Geraden $Ax + By + C = 0$ und die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden, die in fast allen späteren Lektionen wiederkehrt:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Die durch Abstände definierten Kegelschnitte

Die fünf darauf folgenden Lektionen wandten ein und dieselbe Methode auf vier Kurven an: die Kurve durch eine Eigenschaft von Abständen definieren, sie durch Quadrieren in eine Gleichung übersetzen und danach die Umkehrung beweisen, weil das Quadrieren fremde Punkte hinzufügen kann. Die Lektion über die Gleichung der Parabeln definierte die Parabel durch einen Brennpunkt und eine Leitlinie, bewies, dass die Graphen der quadratischen Polynome genau die Parabeln mit vertikaler Achse sind, und bewies ihre Reflexionseigenschaft; die Lektion über die Charakterisierung von Parabeln gewann durch quadratisches Ergänzen ihre Bestimmungsstücke in Abhängigkeit von den Koeffizienten und bewies, dass der Scheitel der Extrempunkt ist und dass die Diskriminante über die Schnittpunkte mit der waagerechten Achse entscheidet.

Die Lektion über Ellipsen und Kreise definierte die Ellipse durch die konstante Summe $2a$ der Abstände von zwei Brennpunkten, leitete ihre Mittelpunktsgleichung mit $b^2 = a^2 - c^2$ her und bewies, dass die Abstände jedes Punktes von den Brennpunkten $a + ex$ und $a - ex$ sind; der Kreis erwies sich als die Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten. Die Lektion über den Kreis maß die Lage eines Punktes durch seine Potenz, entschied die Lage einer Geraden, indem sie den Abstand des Mittelpunkts mit dem Radius verglich, bewies, dass die Tangente senkrecht zum Radius steht, klassifizierte die sechs Lagen zweier Kreise mit Hilfe ihrer Potenzgeraden und bewies den Satz von der Potenz eines Punktes, aus dem der Sehnensatz, der Sekanten-Tangenten-Satz und der Satz vom Potenzpunkt folgen. Die Lektion über Hyperbeln ersetzte die Summe durch die Differenz, mit $c^2 = a^2 + b^2$ , untersuchte die Asymptoten, bewies, dass der Graph von $y = \frac{1}{x}$ eine gleichseitige Hyperbel ist, und zeigte, dass eine zu einer Asymptote parallele Gerade die Hyperbel in einem einzigen Punkt schneidet, ohne Tangente zu sein.

Die vereinheitlichte Theorie und die Ungleichungen

Die Lektion über Kegelschnitte vereinte die vier Kurven in einer einzigen Theorie. Jede Gleichung $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ stellt, je nach dem Vorzeichen von $AC$ und dem der rechten Seite $G$ , die nach der quadratischen Ergänzung übrig bleibt, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel oder einen ihrer ausgearteten Fälle dar; und der Satz über Brennpunkt und Leitlinie beschreibt die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel als die Orte, an denen das Verhältnis zwischen dem Abstand von einem Brennpunkt und dem Abstand von einer Leitlinie eine feste Zahl $e$ ist, kleiner als, gleich oder größer als $1$ .

Die letzte Lektion, über Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung, ging von den Gleichungen zu den Ungleichungen über. Der Satz über die Halbebenen sichert, dass der Term $Ax + By + C$ auf jeder Seite der Geraden sein Vorzeichen behält, woraus die Testpunktmethode folgt; die durch lineare Ungleichungen definierten Bereiche sind konvex, weil ein linearer Term längs einer Strecke zwischen seinen Werten in den Endpunkten variiert; ein Term zweiten Grades, der auf einer Strecke nicht verschwindet, behält auf ihr sein Vorzeichen, und deshalb gilt die Testpunktmethode auch für die von Kegelschnitten begrenzten Gebiete; und eine lineare Funktion nimmt ihr Maximum und ihr Minimum über einem beschränkten konvexen Polygon in einer seiner Ecken an. Ist der Bereich nicht beschränkt, so muss das Optimum nicht existieren, und selbst wenn es existiert, muss es nicht in einer Ecke angenommen werden, wie bei einem Streifen; hat der Bereich aber irgendeine Ecke, das heißt, enthält er keine ganzen Geraden, so wird jedes existierende Optimum auch in einer der Ecken angenommen.

Drei Werkzeuge durchziehen die ganze Einheit. Das erste ist die Abstandsformel, auf der alle Definitionen von Kurven beruhen. Das zweite ist die quadratische Ergänzung, die jede Gleichung zweiten Grades auf die Form bringt, in der man ihre Bestimmungsstücke abliest. Das dritte ist die Diskriminante, die bei allen Kegelschnitten entscheidet, ob eine Gerade sie in zwei Punkten, in einem oder in keinem schneidet, und die, mit der Vorsicht bei den Geraden parallel zur Achse der Parabel oder zu den Asymptoten der Hyperbel, die Tangenten ohne Rückgriff auf Grenzwerte charakterisiert.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder zurückgreift, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die angenommen werden oder aus früheren Einheiten stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AEuklidische Geometrie. Zu Beginn der Einheit werden angenommen: die freie Wahl der Achsen, der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung, die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen, der Strahlensatz und die Ähnlichkeit von Dreiecken, die Winkelsumme im Dreieck und die Gleichheit der Winkel, die den gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks gegenüberliegen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BAbstandsformel. Der Abstand zwischen $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ ist $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; auf ihr beruhen alle Definitionen von Kurven in der Einheit. Begründet in: 1. Abstand und Mittelpunkt.
CAllgemeine Geradengleichung. Die Punkte jeder Geraden sind genau die Lösungen einer Gleichung $Ax + By + C = 0$ , wobei $A$ und $B$ nicht beide null sind. Begründet in: 2. Geradengleichung.
DAbstand eines Punktes von einer Geraden. Der Abstand des Punktes $(x_1, y_1)$ von der Geraden $Ax + By + C = 0$ ist $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Begründet in: 10. Abstand eines Punktes von einer Geraden.
EQuadratische Ergänzung. Es gilt $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , mit $\Delta = b^2 - 4ac$ ; bewiesen in der Einheit über die algebraischen Funktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FDiskriminante. Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, eine doppelte oder keine, je nachdem, ob ihre Diskriminante positiv, null oder negativ ist, und ohne Lösungen behält das Polynom das Vorzeichen seines Leitkoeffizienten; bewiesen in der Einheit über die algebraischen Funktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GVerschiebung von Graphen. Ersetzt man $x$ durch $x - h$ und $y$ durch $y - k$ , so wird ein Graph um $h$ Einheiten waagerecht und um $k$ senkrecht verschoben; bewiesen in der Einheit über die algebraischen Funktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
HVorzeichenregel. Ein Produkt zweier Faktoren ist positiv, wenn sie dasselbe Vorzeichen haben, und negativ, wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben; sie ist die Grundlage der Vorzeichentabellen der Einheit über die algebraischen Funktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.

Abschnitt 1 Die Koordinaten, die Gerade und die Vektoren
- Aus dem Satz des Pythagoras den Abstand zweier Punkte und den Mittelpunkt einer Strecke gewinnen.
- Beweisen, dass die Punkte einer Geraden genau die Lösungen einer Gleichung ersten Grades sind, und Parallelität und Orthogonalität durch die Steigungen charakterisieren.
- Die Vektoren der Ebene mit der Addition, der Skalarmultiplikation, der Norm und dem Skalarprodukt ausstatten und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die Dreiecksungleichung und die Orthogonalprojektion herleiten.
- Die Vektorgleichung der Geraden, ihren Normalenvektor und den Abstand eines Punktes von einer Geraden gewinnen.
1. Abstand und Mittelpunkt. Der Abstand zwischen $P_1 = (x_1, y_1)$ und $P_2 = (x_2, y_2)$ ist $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , und der Punkt $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ teilt die Strecke in zwei gleiche Hälften.
  Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie). Bewiesen in: Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme.
2. Geradengleichung. Die Steigung hängt nicht von den Punkten ab, mit denen man sie berechnet, und ein Punkt liegt genau dann auf der Geraden mit der Steigung $m$ durch $(x_0, y_0)$ , wenn $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; daraus folgt, dass jede Gerade eine Gleichung $Ax + By + C = 0$ hat.
  Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie). Bewiesen in: Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme.
3. Parallele und zueinander senkrechte Geraden. Zwei verschiedene nicht vertikale Geraden sind genau dann parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben, und genau dann senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich $-1$ ist.
  Verwendet: 2. Geradengleichung. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel). Bewiesen in: Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme.
4. Das Lot ist der kürzeste Weg. Ist $Q$ der Fußpunkt des von $P$ auf die Gerade $r$ gefällten Lotes, so erfüllt jeder andere Punkt $R$ von $r$ die Ungleichung $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Verwendet: 3. Parallele und zueinander senkrechte Geraden. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel). Bewiesen in: Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme.
5. Vektoroperationen. Die Addition von Vektoren und die Skalarmultiplikation erfüllen die acht Vektorraumaxiome, und zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren mit $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ erzeugen jeden Vektor der Ebene auf genau eine Weise.
  Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
6. Skalarprodukt und Orthogonalität. Das Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ ist kommutativ und distributiv, erfüllt $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , und zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Verwendet: 5. Vektoroperationen. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel). Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
7. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung. Es gilt $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , woraus $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ folgt und, für drei Punkte, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Verwendet: 6. Skalarprodukt und Orthogonalität. Stützt sich auf: F (Diskriminante). Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
8. Orthogonalprojektion. Ist $\vec{v}$ nicht der Nullvektor, so gibt es genau eine Zahl $t$ , für die $\vec{u} - t \vec{v}$ orthogonal zu $\vec{v}$ ist, nämlich $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Verwendet: 6. Skalarprodukt und Orthogonalität. Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
9. Vektorgleichung und Normalenvektor. Die Punkte der Geraden durch $P_0$ mit dem Richtungsvektor $\vec{d}$ sind die Punkte $P_0 + t \vec{d}$ , jeder mit genau einem Parameter $t$ ; und $\vec{n} = \left( A, B \right)$ ist orthogonal zur Geraden $Ax + By + C = 0$ , deren Punkte die Punkte $P$ mit $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ sind.
  Verwendet: 2. Geradengleichung, 6. Skalarprodukt und Orthogonalität. Stützt sich auf: C (Allgemeine Geradengleichung). Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
10. Abstand eines Punktes von einer Geraden. Der Abstand von $(x_1, y_1)$ zur Geraden $Ax + By + C = 0$ ist $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , und er wird im Lotfußpunkt angenommen.
  Verwendet: 4. Das Lot ist der kürzeste Weg, 8. Orthogonalprojektion, 9. Vektorgleichung und Normalenvektor. Stützt sich auf: C (Allgemeine Geradengleichung). Bewiesen in: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden.
Abschnitt 2 Die durch Abstände definierten Kegelschnitte
- Die Parabel durch einen Brennpunkt und eine Leitlinie definieren, ihre Gleichung gewinnen und beweisen, dass die Graphen der quadratischen Polynome genau die Parabeln mit vertikaler Achse sind.
- Durch quadratisches Ergänzen den Scheitel der Parabel ablesen und mit der Diskriminante über ihre Schnittpunkte mit der waagerechten Achse entscheiden.
- Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse und die Grundgleichung der Hyperbel herleiten, mit dem Beweis der Umkehrung, und den Kreis als die Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten erkennen.
- Die Lage einer Geraden und eines anderen Kreises bezüglich eines Kreises untersuchen und den Satz von der Potenz eines Punktes beweisen.
- Die Tangenten an die Kegelschnitte mit Hilfe der Diskriminante charakterisieren, mit der Vorsicht bei den Geraden parallel zur Achse oder zu den Asymptoten, und die vertikalen Geraden gesondert behandeln.
1. Gleichung der Parabel. Die Punkte, die vom Brennpunkt $(h, k + f)$ und von der Leitlinie $y = k - f$ gleich weit entfernt sind, sind genau die der Kurve $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , die symmetrisch zu ihrer Achse $x = h$ ist.
  Stützt sich auf: B (Abstandsformel), G (Verschiebung von Graphen). Bewiesen in: Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften.
2. Parabel und quadratisches Polynom. Die Graphen von $y = ax^2 + bx + c$ , mit $a \neq 0$ , sind genau die Parabeln mit vertikaler Achse, mit $f = \frac{1}{4a}$ , dessen Betrag die Brennweite ist.
  Verwendet: 11. Gleichung der Parabel. Stützt sich auf: E (Quadratische Ergänzung). Bewiesen in: Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften.
3. Reflexionseigenschaft. Die Tangente in einem Punkt $P$ der Parabel bildet gleiche Winkel mit der Parallelen zur Achse durch $P$ und mit der Geraden, die $P$ mit dem Brennpunkt verbindet.
  Verwendet: 11. Gleichung der Parabel. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel), F (Diskriminante). Bewiesen in: Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften.
4. Scheitel und Schnittpunkte mit der Achse. Der Scheitel von $y = ax^2 + bx + c$ ist $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , ihr tiefster Punkt, wenn $a > 0$ , und ihr höchster, wenn $a < 0$ , und die Parabel schneidet die $x$ -Achse in zwei Punkten, in einem oder in keinem, je nachdem, ob $\Delta$ positiv, null oder negativ ist.
  Verwendet: 12. Parabel und quadratisches Polynom. Stützt sich auf: E (Quadratische Ergänzung), F (Diskriminante). Bewiesen in: Charakterisierung von Parabeln und ihre Graphen.
5. Mittelpunktsgleichung der Ellipse. Mit $b^2 = a^2 - c^2$ ist die Ellipse mit den Brennpunkten $(\pm c, 0)$ und der Abstandssumme $2a$ genau die Kurve $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , und die Abstände jedes Punktes von den Brennpunkten sind $a + \frac{c}{a} x$ und $a - \frac{c}{a} x$ .
  Stützt sich auf: B (Abstandsformel). Bewiesen in: Die Gleichung der Ellipse und des Kreises.
6. Kreisgleichung. Der Kreis mit dem Mittelpunkt $(h, k)$ und dem Radius $r$ ist die Kurve $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , und er ist die Ellipse, deren beide Brennpunkte mit dem Mittelpunkt zusammenfallen.
  Verwendet: 15. Mittelpunktsgleichung der Ellipse. Stützt sich auf: B (Abstandsformel), G (Verschiebung von Graphen). Bewiesen in: Die Gleichung der Ellipse und des Kreises.
7. Berührung der Ellipse. Eine nicht vertikale Gerade ist genau dann Tangente an die Ellipse, wenn die Diskriminante der Gleichung, die beim Einsetzen der Geraden entsteht, null ist; ist sie positiv, so schneidet die Gerade die Ellipse in zwei Punkten, und ist sie negativ, so berührt sie sie nicht. Die einzigen vertikalen Tangenten sind $x = a$ und $x = -a$ .
  Verwendet: 15. Mittelpunktsgleichung der Ellipse. Stützt sich auf: F (Diskriminante). Bewiesen in: Die Gleichung der Ellipse und des Kreises.
8. Lage einer Geraden. Ist $\delta$ der Abstand des Mittelpunkts von einer Geraden, so berührt diese den Kreis nicht, wenn $\delta > r$ , berührt ihn nur im Lotfußpunkt, wenn $\delta = r$ , und schneidet ihn in zwei Punkten, wenn $\delta < r$ .
  Verwendet: 4. Das Lot ist der kürzeste Weg, 16. Kreisgleichung. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), D (Abstand eines Punktes von einer Geraden), F (Diskriminante). Bewiesen in: Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes.
9. Die Tangente steht senkrecht zum Radius. Eine Gerade durch einen Punkt $T$ des Kreises ist genau dann Tangente, wenn sie senkrecht zu dem Radius ist, der den Mittelpunkt mit $T$ verbindet; durch jeden Punkt geht genau eine Tangente.
  Verwendet: 3. Parallele und zueinander senkrechte Geraden, 4. Das Lot ist der kürzeste Weg, 18. Lage einer Geraden. Bewiesen in: Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes.
10. Potenzgerade und gegenseitige Lage. Die Punkte gleicher Potenz bezüglich zweier Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten bilden eine Gerade, die senkrecht zur Verbindungsgeraden der Mittelpunkte ist, und die beiden Kreise haben zwei gemeinsame Punkte, wenn $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , einen, wenn $d$ gleich einer dieser Grenzen ist, wobei dann, abgesehen vom Berührpunkt, die Punkte des kleineren bei innerer Berührung innerhalb des größeren liegen und bei äußerer Berührung die Punkte jedes Kreises außerhalb des anderen, und in allen übrigen Fällen keinen.
  Verwendet: 3. Parallele und zueinander senkrechte Geraden, 7. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung, 16. Kreisgleichung, 18. Lage einer Geraden. Stützt sich auf: C (Allgemeine Geradengleichung), D (Abstand eines Punktes von einer Geraden). Bewiesen in: Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes.
11. Potenz eines Punktes. Schneidet eine Gerade durch $P$ den Kreis in $A$ und $B$ , so gilt $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , mit $p = d^2 - r^2$ ; und von einem äußeren Punkt gehen genau zwei Tangenten aus, beide mit der Länge $\sqrt{p}$ .
  Verwendet: 18. Lage einer Geraden, 19. Die Tangente steht senkrecht zum Radius, 20. Potenzgerade und gegenseitige Lage. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie). Bewiesen in: Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes.
12. Gleichung der Hyperbel. Mit $b^2 = c^2 - a^2$ ist die Hyperbel mit den Brennpunkten $(\pm c, 0)$ und der Abstandsdifferenz $2a$ genau die Kurve $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , deren Äste sich den Asymptoten $y = \pm \frac{b}{a} x$ nähern.
  Stützt sich auf: B (Abstandsformel). Bewiesen in: Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung.
13. Gleichseitige Hyperbel. Der Graph von $y = \frac{1}{x}$ ist die Hyperbel mit den Brennpunkten $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ und $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ , deren Abstände von ihnen sich um $2\sqrt{2}$ unterscheiden; sie ist gleichseitig, und ihre Asymptoten sind die Achsen.
  Verwendet: 22. Gleichung der Hyperbel. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel). Bewiesen in: Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung.
14. Berührung der Hyperbel. Eine nicht zu den Asymptoten parallele Gerade ist genau dann Tangente an die Hyperbel, wenn die Diskriminante null ist; eine Parallele zu einer Asymptote, die nicht mit ihr zusammenfällt, schneidet die Hyperbel in einem einzigen Punkt und durchquert sie; und die einzigen vertikalen Tangenten sind $x = a$ und $x = -a$ .
  Verwendet: 22. Gleichung der Hyperbel. Stützt sich auf: F (Diskriminante). Bewiesen in: Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung.
Abschnitt 3 Die vereinheitlichte Theorie und die Ungleichungen
- Die Gleichungen $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ nach dem Vorzeichen von $AC$ und nach der rechten Seite klassifizieren, die nach der quadratischen Ergänzung übrig bleibt.
- Die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel je nach ihrer Exzentrizität als Orte zu einem Brennpunkt und einer Leitlinie beschreiben.
- Beweisen, dass ein linearer Term auf jeder Seite seiner Geraden sein Vorzeichen behält, und darauf die Testpunktmethode gründen.
- Beweisen, dass die durch lineare Ungleichungen definierten Bereiche konvex sind, die Testpunktmethode auf Kegelschnitte ausdehnen und beweisen, dass eine lineare Funktion ihre Extremwerte über einem beschränkten konvexen Polygon in einer Ecke annimmt, und in einer Ecke auch über einem unbeschränkten Bereich mit Ecken, wenn diese Werte existieren.
1. Allgemeine Gleichung zweiten Grades. Jede Gleichung $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , wobei $A$ und $C$ nicht beide null sind, stellt eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel dar, je nachdem, ob $AC$ positiv, negativ oder null ist, oder einen ihrer ausgearteten Fälle, zwischen denen die rechte Seite $G$ entscheidet, die nach der quadratischen Ergänzung übrig bleibt.
  Verwendet: 11. Gleichung der Parabel, 15. Mittelpunktsgleichung der Ellipse, 16. Kreisgleichung, 22. Gleichung der Hyperbel. Stützt sich auf: E (Quadratische Ergänzung), F (Diskriminante), G (Verschiebung von Graphen). Bewiesen in: Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen.
2. Satz über Brennpunkt und Leitlinie. Die Punkte, deren Abstand von einem Brennpunkt $F$ das $e$ -Fache ihres Abstands von einer Leitlinie $L$ ist, bilden eine Ellipse, wenn $e < 1$ , eine Parabel, wenn $e = 1$ , und eine Hyperbel, wenn $e > 1$ .
  Verwendet: 11. Gleichung der Parabel, 15. Mittelpunktsgleichung der Ellipse, 22. Gleichung der Hyperbel, 25. Allgemeine Gleichung zweiten Grades. Stützt sich auf: A (Euklidische Geometrie), B (Abstandsformel), E (Quadratische Ergänzung). Bewiesen in: Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen.
3. Leitlinien der Ellipse und der Hyperbel. Bei der Ellipse und bei der Hyperbel mit der Exzentrizität $e = \frac{c}{a}$ ist der Abstand jedes Punktes vom Brennpunkt $(c, 0)$ das $e$ -Fache seines Abstands von der Geraden $x = \frac{a}{e}$ ; der Kreis hingegen hat keine Leitlinie.
  Verwendet: 15. Mittelpunktsgleichung der Ellipse, 22. Gleichung der Hyperbel, 26. Satz über Brennpunkt und Leitlinie. Bewiesen in: Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen.
4. Satz über die Halbebenen. Der Term $Ax + By + C$ ist in allen Punkten der einen Seite der Geraden $Ax + By + C = 0$ positiv und in allen Punkten der anderen negativ; daraus folgt die Testpunktmethode.
  Stützt sich auf: C (Allgemeine Geradengleichung), H (Vorzeichenregel). Bewiesen in: Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung.
5. Terme längs einer Strecke. Auf der Strecke mit den Endpunkten $P$ und $Q$ erfüllt ein linearer Term $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , sodass die Lösungsbereiche linearer Ungleichungssysteme konvex sind; und ein Term zweiten Grades, der auf einer Strecke nicht verschwindet, behält auf ihr sein Vorzeichen, sodass jeder Kegelschnitt die Ebene in Gebiete zerlegt, zwei oder drei, in denen die Testpunktmethode gilt.
  Verwendet: 2. Geradengleichung, 28. Satz über die Halbebenen, 7. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung, 14. Scheitel und Schnittpunkte mit der Achse. Stützt sich auf: F (Diskriminante), H (Vorzeichenregel). Bewiesen in: Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung.
6. Eckensatz. Eine Funktion $ax + by + c$ nimmt auf dem nichtleeren und beschränkten Bereich eines Systems nicht strenger linearer Ungleichungen ihr Maximum und ihr Minimum an, und zwar jedes in einer seiner Ecken; ist der Bereich nicht beschränkt, hat aber eine Ecke, das heißt, enthält er keine ganzen Geraden, so wird jedes Maximum oder Minimum, das angenommen wird, auch in einer Ecke angenommen.
  Verwendet: 29. Terme längs einer Strecke. Bewiesen in: Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung.

Auf dem Weg zu den transzendenten Funktionen. Die Kette krönt das Studium der algebraischen Kurven ersten und zweiten Grades. Die folgende Einheit verlässt die algebraischen Funktionen, aber die Hyperbel kehrt in ihr wieder: Die Flächen unter $y = \frac{1}{x}$ verhalten sich wie Logarithmen, und der Punkt $(\cosh t, \sinh t)$ durchläuft den rechten Ast von $x^2 - y^2 = 1$ .