Géométrie analytique du plan : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité consacrée à la géométrie analytique du plan. Elle réunit en une chaîne déductive ce qui a été démontré dans ses neuf leçons, depuis la formule de la distance jusqu’au théorème des sommets de la programmation linéaire ; elle montre comment l’unité s’appuie sur les unités antérieures, en particulier sur la complétion du carré, le discriminant et les tableaux de signes, et comment elle prépare la prochaine unité, dont les fonctions transcendantes décrivent de nouveau l’hyperbole. Elle propose ensuite une évaluation de sortie, parallèle à celle d’entrée, et se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes proposés dans les leçons, qui exigent d’en combiner plusieurs et de trouver dans chaque cas l’idée qui ouvre le chemin.

Objectifs d’apprentissage

Énoncer les résultats principaux de l’unité et expliquer comment chacun dépend de ceux qui le précèdent.
Relier les méthodes de l’unité à celles des unités antérieures et à celles de la prochaine unité.
Résoudre des problèmes qui combinent droites, vecteurs, coniques et inégalités, en choisissant entre la définition métrique d’une courbe, son équation et le discriminant l’outil le plus efficace.
Traduire en équations des conditions de minimum, de tangence et de lieu géométrique, et vérifier que l’équation obtenue décrit exactement l’ensemble cherché.

L’acquis de l’unité

Les coordonnées, la droite et les vecteurs

L’unité a commencé par une seule idée : identifier chaque point du plan au couple de ses coordonnées. Il en a découlé, dans la leçon sur l’équation de la droite, que la distance entre deux points est une conséquence du théorème de Pythagore et que la pente d’une droite ne dépend pas des points avec lesquels on la calcule, par la similitude des triangles. Ces deux théorèmes, avec le libre choix des axes, l’égalité des angles correspondants entre parallèles, la somme des angles d’un triangle et les angles du triangle isocèle, sont les faits de la géométrie euclidienne que l’unité admet explicitement au départ, parce que leur démonstration relève de la construction axiomatique de cette géométrie. De l’invariance de la pente on a déduit que les points d’une droite sont exactement les solutions d’une équation $Ax + By + C = 0$ ; d’un calcul sur les équations de deux droites, que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente ; du théorème de Pythagore et de sa réciproque, avec l’égalité des angles correspondants, qu’elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut $-1$ ; et du théorème de Pythagore, que la perpendiculaire menée d’un point est le plus court chemin jusqu’à la droite.

La leçon sur les vecteurs du plan a reformulé ces résultats sans dépendre du choix des axes. Les vecteurs, avec leur somme et leur produit par un réel, vérifient les huit axiomes d’espace vectoriel ; le produit scalaire décide de l’orthogonalité par la condition $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , qui n’exclut plus les droites verticales, et fournit l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’inégalité triangulaire et le projeté orthogonal. On en a tiré l’équation vectorielle de la droite, le vecteur normal $\left( A, B \right)$ de la droite $Ax + By + C = 0$ et la formule de la distance d’un point à une droite, qui reparaît dans presque toutes les leçons ultérieures :

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Les coniques définies par des distances

Les cinq leçons venues ensuite ont appliqué une même méthode à quatre courbes : définir la courbe par une propriété de distances, la traduire en une équation en élevant au carré, puis démontrer l’implication dans l’autre sens, parce que l’élévation au carré peut ajouter des points étrangers. La leçon sur l’équation des paraboles a défini la parabole par un foyer et une directrice, a démontré que les courbes représentatives des trinômes du second degré sont exactement les paraboles d’axe vertical et a établi leur propriété de réflexion ; celle sur la caractérisation des paraboles a obtenu, en complétant le carré, leurs éléments en fonction des coefficients, et a démontré que le sommet est le point extrémal et que le discriminant décide des points d’intersection avec l’axe horizontal.

La leçon sur les ellipses et les cercles a défini l’ellipse par la somme constante $2a$ des distances à deux foyers, en a déduit l’équation réduite avec $b^2 = a^2 - c^2$ et a démontré que les distances de chaque point aux foyers sont $a + ex$ et $a - ex$ ; le cercle s’est révélé être l’ellipse à foyers confondus. La leçon sur le cercle a mesuré la position d’un point par sa puissance, a décidé de celle d’une droite en comparant au rayon la distance du centre, a démontré que la tangente est perpendiculaire au rayon, a classé les six positions de deux cercles au moyen de leur axe radical et a démontré le théorème de la puissance d’un point, dont découlent le théorème des cordes, celui de la sécante et de la tangente et celui du centre radical. La leçon sur les hyperboles a remplacé la somme par la différence, avec $c^2 = a^2 + b^2$ , a étudié les asymptotes, a démontré que la courbe représentative de $y = \frac{1}{x}$ est une hyperbole équilatère et a montré qu’une droite parallèle à une asymptote coupe l’hyperbole en un seul point sans lui être tangente.

La théorie unifiée et les inégalités

La leçon sur les coniques a réuni les quatre courbes en une seule théorie. Toute équation $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ représente, selon le signe de $AC$ et celui du second membre $G$ que laisse la complétion des carrés, une ellipse, une hyperbole, une parabole ou l’un de leurs cas dégénérés ; et le théorème du foyer et de la directrice décrit l’ellipse, la parabole et l’hyperbole comme les lieux où le rapport entre la distance à un foyer et la distance à une directrice est un nombre fixe $e$ , strictement inférieur, égal ou strictement supérieur à $1$ .

La dernière leçon, sur les inéquations dans le plan et la programmation linéaire, est passée des égalités aux inégalités. Le théorème des demi-plans assure que l’expression $Ax + By + C$ garde son signe de chaque côté de la droite, d’où la méthode du point test ; les régions définies par des inéquations linéaires sont convexes, parce qu’une expression du premier degré varie le long d’un segment entre ses valeurs aux extrémités ; une expression du second degré qui ne s’annule pas sur un segment y garde son signe, et c’est pourquoi la méthode du point test vaut aussi pour les régions délimitées par des coniques ; et une fonction linéaire atteint son maximum et son minimum sur un polygone convexe borné en l’un de ses sommets. Si la région n’est pas bornée, l’optimum peut ne pas exister, et même s’il existe il peut ne pas être atteint en un sommet, comme dans une bande ; mais si la région a au moins un sommet, c’est-à-dire si elle ne contient aucune droite entière, tout optimum qui existe est atteint aussi en l’un d’eux.

Trois outils traversent toute l’unité. Le premier est la formule de la distance, sur laquelle reposent toutes les définitions de courbes. Le deuxième est la complétion du carré, qui amène chaque équation du second degré à la forme où l’on lit ses éléments. Le troisième est le discriminant, qui décide pour toutes les coniques si une droite les coupe en deux points, en un seul ou en aucun, et qui, moyennant la précaution des droites parallèles à l’axe de la parabole ou aux asymptotes de l’hyperbole, caractérise les tangentes sans recourir aux limites.

La figure ci-dessous réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis ou proviennent d’unités antérieures, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AGéométrie euclidienne. On admet, au début de l’unité, le libre choix des axes, le théorème de Pythagore et sa réciproque, l’égalité des angles correspondants entre parallèles, le théorème de Thalès et la similitude des triangles, la somme des angles d’un triangle et l’égalité des angles opposés aux côtés égaux d’un triangle isocèle. Admis sans démonstration dans cette unité.
BFormule de la distance. La distance entre $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; sur elle reposent toutes les définitions de courbes de l’unité. Établi dans: 1. Distance et milieu.
CÉquation cartésienne de la droite. Les points de toute droite sont exactement les solutions d’une équation $Ax + By + C = 0$ , avec $A$ et $B$ non tous deux nuls. Établi dans: 2. Équation de la droite.
DDistance d’un point à une droite. La distance du point $(x_1, y_1)$ à la droite $Ax + By + C = 0$ est $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Établi dans: 10. Distance d’un point à une droite.
EComplétion du carré. On a $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , avec $\Delta = b^2 - 4ac$ ; démontré dans l’unité sur les fonctions algébriques. Admis sans démonstration dans cette unité.
FDiscriminant. Une équation du second degré a deux racines, une racine double ou aucune selon que son discriminant est strictement positif, nul ou strictement négatif, et, sans racines, le polynôme garde le signe de son coefficient dominant ; démontré dans l’unité sur les fonctions algébriques. Admis sans démonstration dans cette unité.
GTranslation des courbes. Remplacer $x$ par $x - h$ et $y$ par $y - k$ translate une courbe de $h$ unités horizontalement et de $k$ verticalement ; démontré dans l’unité sur les fonctions algébriques. Admis sans démonstration dans cette unité.
HRègle des signes. Un produit de deux facteurs est strictement positif s’ils sont de même signe et strictement négatif s’ils sont de signes contraires ; c’est le fondement des tableaux de signes de l’unité sur les fonctions algébriques. Admis sans démonstration dans cette unité.

Tronçon 1 Les coordonnées, la droite et les vecteurs
- Obtenir du théorème de Pythagore la distance entre deux points et le milieu d’un segment.
- Démontrer que les points d’une droite sont exactement les solutions d’une équation du premier degré, et caractériser le parallélisme et l’orthogonalité par les pentes.
- Munir les vecteurs du plan de la somme, du produit par un réel, de la norme et du produit scalaire, et en déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’inégalité triangulaire et le projeté orthogonal.
- Obtenir l’équation vectorielle de la droite, son vecteur normal et la distance d’un point à une droite.
1. Distance et milieu. La distance entre $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ est $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , et le point $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ partage le segment en deux moitiés égales.
  Repose sur: A (Géométrie euclidienne). Démontré dans: L’équation de la droite et les repères cartésiens.
2. Équation de la droite. La pente ne dépend pas des points avec lesquels on la calcule, et un point est sur la droite de pente $m$ passant par $(x_0, y_0)$ si et seulement si $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; par conséquent, toute droite a une équation $Ax + By + C = 0$ .
  Repose sur: A (Géométrie euclidienne). Démontré dans: L’équation de la droite et les repères cartésiens.
3. Parallèles et perpendiculaires. Deux droites non verticales distinctes sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente, et perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut $-1$ .
  Utilise: 2. Équation de la droite. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance). Démontré dans: L’équation de la droite et les repères cartésiens.
4. La perpendiculaire est le plus court chemin. Si $Q$ est le pied de la perpendiculaire menée de $P$ à la droite $r$ , tout autre point $R$ de $r$ vérifie $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Utilise: 3. Parallèles et perpendiculaires. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance). Démontré dans: L’équation de la droite et les repères cartésiens.
5. Opérations sur les vecteurs. La somme de vecteurs et le produit par un réel vérifient les huit axiomes d’espace vectoriel, et deux vecteurs non nuls avec $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ engendrent chaque vecteur du plan d’une seule manière.
  Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
6. Produit scalaire et orthogonalité. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ est commutatif et distributif, vérifie $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , et deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Utilise: 5. Opérations sur les vecteurs. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance). Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
7. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire. On a $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , d’où $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ et, pour trois points, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Utilise: 6. Produit scalaire et orthogonalité. Repose sur: F (Discriminant). Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
8. Projeté orthogonal. Si $\vec{v}$ n’est pas nul, il existe un unique réel $t$ tel que $\vec{u} - t \vec{v}$ soit orthogonal à $\vec{v}$ , à savoir $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Utilise: 6. Produit scalaire et orthogonalité. Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
9. Équation vectorielle et vecteur normal. Les points de la droite passant par $P_0$ de vecteur directeur $\vec{d}$ sont les points $P_0 + t \vec{d}$ , chacun avec un unique paramètre $t$ ; et $\vec{n} = \left( A, B \right)$ est orthogonal à la droite $Ax + By + C = 0$ , dont les points sont les points $P$ tels que $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  Utilise: 2. Équation de la droite, 6. Produit scalaire et orthogonalité. Repose sur: C (Équation cartésienne de la droite). Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
10. Distance d’un point à une droite. La distance de $(x_1, y_1)$ à la droite $Ax + By + C = 0$ est $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , et elle est atteinte au pied de la perpendiculaire.
  Utilise: 4. La perpendiculaire est le plus court chemin, 8. Projeté orthogonal, 9. Équation vectorielle et vecteur normal. Repose sur: C (Équation cartésienne de la droite). Démontré dans: Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite.
Tronçon 2 Les coniques définies par des distances
- Définir la parabole par un foyer et une directrice, obtenir son équation et démontrer que les courbes représentatives des trinômes du second degré sont exactement les paraboles d’axe vertical.
- Lire, en complétant le carré, le sommet de la parabole et décider avec le discriminant de ses points d’intersection avec l’axe horizontal.
- Déduire l’équation réduite de l’ellipse et l’équation fondamentale de l’hyperbole, avec la démonstration de l’implication dans l’autre sens, et reconnaître le cercle comme l’ellipse à foyers confondus.
- Étudier la position d’une droite et d’un autre cercle par rapport à un cercle, et démontrer le théorème de la puissance d’un point.
- Caractériser les tangentes aux coniques au moyen du discriminant, avec la précaution des droites parallèles à l’axe ou aux asymptotes, et traiter à part les droites verticales.
1. Équation de la parabole. Les points équidistants du foyer $(h, k + f)$ et de la directrice $y = k - f$ sont exactement ceux de la courbe $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , symétrique par rapport à son axe $x = h$ .
  Repose sur: B (Formule de la distance), G (Translation des courbes). Démontré dans: L’équation de la parabole : définitions et propriétés.
2. Parabole et trinôme du second degré. Les courbes représentatives de $y = ax^2 + bx + c$ , avec $a \neq 0$ , sont exactement les paraboles d’axe vertical, avec $f = \frac{1}{4a}$ , dont la valeur absolue est la distance focale.
  Utilise: 11. Équation de la parabole. Repose sur: E (Complétion du carré). Démontré dans: L’équation de la parabole : définitions et propriétés.
3. Propriété de réflexion. La tangente en un point $P$ de la parabole forme des angles égaux avec la parallèle à l’axe menée par $P$ et avec la droite qui joint $P$ au foyer.
  Utilise: 11. Équation de la parabole. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance), F (Discriminant). Démontré dans: L’équation de la parabole : définitions et propriétés.
4. Sommet et points d’intersection avec l’axe. Le sommet de $y = ax^2 + bx + c$ est $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , son point le plus bas si $a > 0$ et le plus haut si $a < 0$ , et la parabole coupe l’axe des $x$ en deux points, en un seul ou en aucun selon que $\Delta$ est strictement positif, nul ou strictement négatif.
  Utilise: 12. Parabole et trinôme du second degré. Repose sur: E (Complétion du carré), F (Discriminant). Démontré dans: Caractérisation et tracé des paraboles.
5. Équation réduite de l’ellipse. Avec $b^2 = a^2 - c^2$ , l’ellipse de foyers $(\pm c, 0)$ et de somme des distances $2a$ est exactement la courbe $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , et les distances de chaque point aux foyers sont $a + \frac{c}{a} x$ et $a - \frac{c}{a} x$ .
  Repose sur: B (Formule de la distance). Démontré dans: L’équation de l’ellipse et du cercle.
6. Équation du cercle. Le cercle de centre $(h, k)$ et de rayon $r$ est la courbe $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , et c’est l’ellipse dont les deux foyers coïncident avec le centre.
  Utilise: 15. Équation réduite de l’ellipse. Repose sur: B (Formule de la distance), G (Translation des courbes). Démontré dans: L’équation de l’ellipse et du cercle.
7. Tangence à l’ellipse. Une droite non verticale est tangente à l’ellipse si et seulement si le discriminant de l’équation obtenue en la substituant est nul ; s’il est strictement positif, elle la coupe en deux points, et s’il est strictement négatif, elle ne la touche pas. Les seules tangentes verticales sont $x = a$ et $x = -a$ .
  Utilise: 15. Équation réduite de l’ellipse. Repose sur: F (Discriminant). Démontré dans: L’équation de l’ellipse et du cercle.
8. Position d’une droite. Si $\delta$ est la distance du centre à une droite, celle-ci ne touche pas le cercle si $\delta > r$ , ne le touche qu’au pied de la perpendiculaire si $\delta = r$ et le coupe en deux points si $\delta < r$ .
  Utilise: 4. La perpendiculaire est le plus court chemin, 16. Équation du cercle. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), D (Distance d’un point à une droite), F (Discriminant). Démontré dans: Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance.
9. La tangente est perpendiculaire au rayon. Une droite qui passe par un point $T$ du cercle est tangente si et seulement si elle est perpendiculaire au rayon qui joint le centre à $T$ ; par chaque point passe une seule tangente.
  Utilise: 3. Parallèles et perpendiculaires, 4. La perpendiculaire est le plus court chemin, 18. Position d’une droite. Démontré dans: Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance.
10. Axe radical et positions relatives. Les points de même puissance par rapport à deux cercles de centres distincts forment une droite perpendiculaire à la droite des centres, et les deux cercles ont deux points communs si $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , un seul si $d$ est égal à l’une de ces bornes, auquel cas, hormis le point de contact, les points du plus petit sont à l’intérieur du plus grand dans la tangence intérieure et ceux de chacun à l’extérieur de l’autre dans la tangence extérieure, et aucun dans les autres cas.
  Utilise: 3. Parallèles et perpendiculaires, 7. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, 16. Équation du cercle, 18. Position d’une droite. Repose sur: C (Équation cartésienne de la droite), D (Distance d’un point à une droite). Démontré dans: Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance.
11. Puissance d’un point. Si une droite passant par $P$ coupe le cercle en $A$ et $B$ , on a $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , avec $p = d^2 - r^2$ ; et d’un point extérieur partent exactement deux tangentes, toutes deux de longueur $\sqrt{p}$ .
  Utilise: 18. Position d’une droite, 19. La tangente est perpendiculaire au rayon, 20. Axe radical et positions relatives. Repose sur: A (Géométrie euclidienne). Démontré dans: Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance.
12. Équation de l’hyperbole. Avec $b^2 = c^2 - a^2$ , l’hyperbole de foyers $(\pm c, 0)$ et de différence des distances $2a$ est exactement la courbe $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , dont les branches se rapprochent des asymptotes $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
  Repose sur: B (Formule de la distance). Démontré dans: L’équation de l’hyperbole et sa déduction.
13. Hyperbole équilatère. La courbe représentative de $y = \frac{1}{x}$ est l’hyperbole de foyers $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ et $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ dont les distances à ces foyers diffèrent de $2\sqrt{2}$ ; elle est équilatère et ses asymptotes sont les axes.
  Utilise: 22. Équation de l’hyperbole. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance). Démontré dans: L’équation de l’hyperbole et sa déduction.
14. Tangence à l’hyperbole. Une droite non parallèle aux asymptotes est tangente à l’hyperbole exactement quand le discriminant est nul ; une parallèle à une asymptote, sans être confondue avec elle, la coupe en un seul point et la traverse ; et les seules tangentes verticales sont $x = a$ et $x = -a$ .
  Utilise: 22. Équation de l’hyperbole. Repose sur: F (Discriminant). Démontré dans: L’équation de l’hyperbole et sa déduction.
Tronçon 3 La théorie unifiée et les inégalités
- Classer les équations $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ selon le signe de $AC$ et selon le second membre que laisse la complétion des carrés.
- Décrire l’ellipse, la parabole et l’hyperbole comme des lieux définis par un foyer et une directrice, selon leur excentricité.
- Démontrer qu’une expression du premier degré garde son signe de chaque côté de sa droite et fonder sur ce fait la méthode du point test.
- Prouver que les régions définies par des inéquations linéaires sont convexes, étendre la méthode du point test aux coniques et démontrer qu’une fonction linéaire atteint ses valeurs extrêmes sur un polygone convexe borné en un sommet, et en un sommet aussi sur une région non bornée qui a des sommets lorsque ces valeurs existent.
1. Équation générale du second degré. Toute équation $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , avec $A$ et $C$ non tous deux nuls, représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole selon que $AC$ est strictement positif, strictement négatif ou nul, ou l’un de leurs cas dégénérés, entre lesquels décide le second membre $G$ que laisse la complétion des carrés.
  Utilise: 11. Équation de la parabole, 15. Équation réduite de l’ellipse, 16. Équation du cercle, 22. Équation de l’hyperbole. Repose sur: E (Complétion du carré), F (Discriminant), G (Translation des courbes). Démontré dans: Les coniques : caractérisation et tracé.
2. Théorème du foyer et de la directrice. Les points dont la distance à un foyer $F$ est $e$ fois leur distance à une directrice $L$ forment une ellipse si $e < 1$ , une parabole si $e = 1$ et une hyperbole si $e > 1$ .
  Utilise: 11. Équation de la parabole, 15. Équation réduite de l’ellipse, 22. Équation de l’hyperbole, 25. Équation générale du second degré. Repose sur: A (Géométrie euclidienne), B (Formule de la distance), E (Complétion du carré). Démontré dans: Les coniques : caractérisation et tracé.
3. Directrices de l’ellipse et de l’hyperbole. Dans l’ellipse et dans l’hyperbole d’excentricité $e = \frac{c}{a}$ , la distance de chaque point au foyer $(c, 0)$ est $e$ fois sa distance à la droite $x = \frac{a}{e}$ ; le cercle, en revanche, n’a pas de directrice.
  Utilise: 15. Équation réduite de l’ellipse, 22. Équation de l’hyperbole, 26. Théorème du foyer et de la directrice. Démontré dans: Les coniques : caractérisation et tracé.
4. Théorème des demi-plans. L’expression $Ax + By + C$ est strictement positive en tous les points de l’un des côtés de la droite $Ax + By + C = 0$ et strictement négative en tous ceux de l’autre ; d’où la méthode du point test.
  Repose sur: C (Équation cartésienne de la droite), H (Règle des signes). Démontré dans: Inéquations dans le plan et programmation linéaire.
5. Expressions le long d’un segment. Sur le segment d’extrémités $P$ et $Q$ , une expression du premier degré vérifie $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , de sorte que les régions des solutions des systèmes d’inéquations linéaires sont convexes ; et une expression du second degré qui ne s’annule pas sur un segment y garde son signe, de sorte que chaque conique partage le plan en régions, deux ou trois, dans lesquelles vaut la méthode du point test.
  Utilise: 2. Équation de la droite, 28. Théorème des demi-plans, 7. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, 14. Sommet et points d’intersection avec l’axe. Repose sur: F (Discriminant), H (Règle des signes). Démontré dans: Inéquations dans le plan et programmation linéaire.
6. Théorème des sommets. Une fonction $ax + by + c$ atteint son maximum et son minimum sur la région, non vide et bornée, d’un système d’inéquations linéaires larges, et chacun en l’un de ses sommets ; si la région n’est pas bornée mais a un sommet, c’est-à-dire si elle ne contient aucune droite entière, tout maximum ou minimum atteint l’est aussi en un sommet.
  Utilise: 29. Expressions le long d’un segment. Démontré dans: Inéquations dans le plan et programmation linéaire.

Vers les fonctions transcendantes. La chaîne couronne l’étude des courbes algébriques de degré un et deux. La prochaine unité sort des fonctions algébriques, mais l’hyperbole y reparaît : les aires sous $y = \frac{1}{x}$ se comportent comme des logarithmes, et le point $(\cosh t, \sinh t)$ parcourt la branche droite de $x^2 - y^2 = 1$ .