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LatineRésumé
Cette leçon ouvre l’unité consacrée aux fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques. Elle présente ses six leçons et ce que chacune démontre ; elle retrace l’histoire de ces idées, depuis la correspondance entre progressions qu’entrevit Archimède et qu’ordonna Stifel jusqu’aux logarithmes de Napier et de Bürgi, au nombre de Jakob Bernoulli et d’Euler et aux fonctions hyperboliques de Riccati et de Lambert ; elle formule le problème qui leur a donné naissance, qui est de transformer des produits en sommes, et le traduit en deux équations fonctionnelles ; et elle décrit, enfin, la place que ces fonctions occupent dans la suite de ce cours, dans d’autres cours du site et dans la science.
Objectifs d’apprentissage
- Décrire le contenu de chaque leçon de l’unité et l’ordre logique dans lequel elles s’articulent, depuis la puissance à exposant réel jusqu’aux fonctions hyperboliques.
- Situer dans leur contexte historique l’invention des logarithmes, la découverte du nombre et l’introduction des fonctions hyperboliques, en identifiant le problème pratique qui a motivé chacune d’elles.
- Exprimer le problème de la transformation des produits en sommes au moyen des équations et , et expliquer à l’aide de la table de Stifel pourquoi sa solution exige des exposants réels.
- Reconnaître des applications de ces fonctions dans le cours d’Algèbre et géométrie II, dans d’autres cours et en physique, en chimie, en biologie, en finance et en informatique.
Évaluation d’entrée
Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ, sans aucune note. Les dix premières questions portent sur les six leçons de contenu de l’unité : deux pour chacune des trois leçons sur lesquelles s’appuie le reste (la puissance à exposant réel, le nombre et les équations), une pour la leçon sur le logarithme, une autre pour celle sur les fonctions hyperboliques et deux pour celle sur les modèles, dont la seconde demande de construire un modèle à partir de données ; les mêmes compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les trois dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis des unités sur les ensembles de nombres et sur la géométrie analytique du plan. Chaque réponse erronée indique la leçon sur laquelle il convient de s’arrêter.
Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.
Question 1Quel est l’ensemble image de la fonction ?
On a translaté l’ensemble image de sans tenir compte du signe moins, qui transforme la courbe par symétrie par rapport à l’axe des et change les valeurs strictement positives en valeurs strictement négatives.C’est ce que l’on obtient en prenant pour borne la valeur en , qui est ; mais la fonction est décroissante, et pour strictement négatif elle prend des valeurs strictement supérieures à , de plus en plus proches de .Une fonction exponentielle ne prend ni valeurs négatives ni la valeur zéro, de sorte que n’atteint jamais la valeur et ne la dépasse pas.La puissance prend toutes les valeurs strictement positives, et seulement celles-ci ; en changeant le signe, on obtient toutes les valeurs strictement négatives, et en ajoutant , tous les réels strictement inférieurs à . La droite est une asymptote horizontale que la courbe n’atteint pas.À revoir : La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel
Question 2Calculer .
Bonne réponse :
D’après le théorème de la puissance d’une puissance, qui est valable pour les exposants réels, le résultat est . Qui obtient a additionné les exposants au lieu de les multiplier, car ; qui obtient a commis en outre une seconde erreur, celle d’additionner les radicandes, comme si valait .À revoir : La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel
Question 3Un capital de est placé à un taux annuel de pour cent, c’est-à-dire , capitalisé fois par an. Quelle est la borne supérieure des capitaux au bout d’un an ?
C’est la borne supérieure pour . Quand on double le taux, la borne supérieure ne reste pas la même : elle passe de à .Le taux ne multiplie pas la borne supérieure, il en est l’exposant : , et non . Par exemple, avec le capital vaut déjà , plus de , et dépasse , qui est strictement inférieur à .La suite est croissante, mais elle est majorée : d’après l’inégalité , chaque terme est strictement inférieur à . Une suite croissante et majorée a une borne supérieure, par la complétude.D’après le théorème de la capitalisation continue, la borne supérieure des termes est , et aucun ne l’atteint ; avec , c’est .À revoir : Le nombre e et la fonction exponentielle
Question 4Avec , quel majorant de l’erreur donne le théorème de l’erreur de la série ?
Bonne réponse :
Le théorème donne , et avec le majorant est . Qui obtient a pris le premier terme omis, , qui est strictement inférieur à l’erreur ; qui obtient a oublié le facteur .À revoir : Le nombre e et la fonction exponentielle
Question 5Calculer .
Bonne réponse :
Comme et , par changement de base ; en effet, . Qui obtient a inversé le quotient, et qui obtient a divisé par .À revoir : La fonction logarithme et ses propriétés
Question 6Quelles sont les solutions réelles de l’équation ?
La racine du trinôme ne donne pas : elle donnerait , qui n’a pas de solution. La valeur n’annule pas le premier membre.Ce sont les racines du trinôme en , et non les valeurs de . Il reste à défaire le changement de variable et à écarter la racine strictement négative.Le trinôme a une racine strictement positive, , qui correspond à ; en effet, .Avec , l’équation s’écrit . La racine est écartée, car une puissance de base strictement positive n’est pas négative, et donne .À revoir : Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques
Question 7Résoudre l’équation .
Bonne réponse :
Sur l’ensemble de définition, , la règle du produit donne , c’est-à-dire . Le candidat est une solution parasite, hors de l’ensemble de définition ; la seule solution est , et en effet .À revoir : Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques
Question 8Un isotope radioactif a une demi-vie de jours. Quelle fraction de la masse initiale reste-t-il au bout de jours ?
Bonne réponse :
D’après le théorème de la demi-vie, la masse vaut ; au bout de jours, trois demi-vies se sont écoulées, et il reste . Qui obtient a divisé par le nombre de demi-vies au lieu de diviser par autant de fois.À revoir : Modèles de croissance et de décroissance exponentielles
Question 9Les comptages d’une culture de bactéries, reportés sur un graphique semi-logarithmique, sont alignés, et la droite passe par les points qui correspondent à bactéries au bout de heures et à bactéries au bout de heures. Combien de bactéries y avait-il, selon le modèle, au début de la culture ?
Bonne réponse :
Les données alignées sur le graphique semi-logarithmique suivent un modèle , d’après le théorème de linéarisation. En heures le comptage est multiplié par , de sorte qu’il double toutes les heures ; remonter le temps de heures à partir de l’instant heures divise le comptage par : . Qui obtient un nombre négatif a prolongé la droite qui joint les données en échelle ordinaire, comme si la croissance était linéaire ; qui obtient a remonté le temps de heures au lieu de .À revoir : Modèles de croissance et de décroissance exponentielles
Question 10Si et , que vaut ?
Bonne réponse :
D’après l’identité fondamentale, , et comme le sinus hyperbolique est strictement positif : . Qui obtient a retranché sans élever au carré ; qui obtient a oublié le signe du sinus hyperbolique pour .À revoir : Les fonctions hyperboliques
Question 11Des unités précédentesCalculer .
Bonne réponse :
Par la définition de la puissance à exposant rationnel, , et l’exposant négatif donne l’inverse : . Qui obtient a multiplié la base par l’exposant, et qui obtient a oublié le signe de l’exposant.À revoir : Puissances à exposant rationnel et radicaux
Question 12Des unités précédentesQuelle est la borne supérieure de l’ensemble des nombres , avec entier naturel ?
On confond la borne supérieure avec le plus grand élément. La borne supérieure est le plus petit des majorants, et elle peut ne pas appartenir à l’ensemble ; la complétude garantit qu’elle existe pour tout ensemble non vide majoré.C’est le plus petit élément, que l’on obtient avec : le minimum de l’ensemble, et non sa borne supérieure.C’est l’élément qui correspond à , mais ce n’est pas un majorant : avec on obtient , qui le dépasse.Tout élément est strictement inférieur à , de sorte que est un majorant ; et aucun nombre n’en est un, car dès que . Le plus petit des majorants est , bien qu’il n’appartienne pas à l’ensemble.À revoir : Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes
Question 13Des unités précédentesQuelles sont les asymptotes de l’hyperbole ?
On a inversé le quotient : la pente est , où est le demi-axe associé à . Ce sont les asymptotes de .On a pris les carrés des demi-axes au lieu des demi-axes : de on déduit , en extrayant les racines.Ce sont les droites verticales qui passent par les sommets ; l’hyperbole les touche en ces points, et ne s’en approche pas indéfiniment.Avec et , les asymptotes de sont les droites , que l’on obtient en égalant à zéro le premier membre.À revoir : L’équation de l’hyperbole et sa déduction
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