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Topos Uranos
Français

Modèles de croissance et de décroissance exponentielles

Résumé

Cette leçon applique les fonctions exponentielles et logarithmes à la description de grandeurs qui varient dans une même proportion sur des périodes égales. Elle étudie la croissance discrète à taux constant et le modèle continu P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, démontre que, dans ce dernier, le temps de doublement et la demi-vie ne dépendent pas de l’instant où on les mesure, et applique ce résultat à la désintégration radioactive, à la datation au carbone 14 et à la loi de refroidissement de Newton. Elle enseigne ensuite à déterminer les paramètres d’un modèle à partir de deux données, démontre que des données exponentielles s’alignent sur un graphique semi-logarithmique et se termine par le modèle logistique, dont la croissance est bornée et dont le graphique est symétrique par rapport à son point milieu.

Objectifs d’apprentissage

  1. Reconnaître les modèles de croissance et de décroissance discrets et continus, et relier le taux de variation par période à la constante du modèle.
  2. Calculer et employer le temps de doublement et la demi-vie, et les appliquer à la désintégration radioactive, à la datation au carbone 14 et au refroidissement d’un corps.
  3. Déterminer les paramètres d’un modèle exponentiel à partir de deux données et reconnaître des données exponentielles sur un graphique semi-logarithmique.
  4. Étudier le modèle logistique : son caractère borné, sa monotonie et la symétrie de son graphique par rapport au point où il atteint la moitié de sa borne supérieure.

Croissance à taux constant

Une grandeur peut augmenter de deux manières élémentaires. Si l’on y ajoute une même quantité à chaque période, ses valeurs forment une suite arithmétique et son graphique est une droite ; ainsi croît un capital placé à intérêts simples, qui reçoit chaque année les mêmes intérêts. Si, au contraire, elle est multipliée à chaque période par un même facteur, ses valeurs forment une suite géométrique ; ainsi croît un capital placé à intérêts composés, dont les intérêts de chaque année se calculent sur le capital accumulé, et ainsi croît une population de bactéries dans laquelle chaque cellule se divise au bout d’un temps fixe. Ces deux suites ont été étudiées dans la leçon sur les sommes, les suites arithmétiques et géométriques et la récurrence ; cette leçon-ci s’occupe de la seconde et de sa version continue.

Soit P0>0P_0 > 0 la valeur initiale d’une grandeur et PnP_n sa valeur au bout de nn périodes. On dit que la grandeur varie à taux constant rr par période, avec r>−1r > -1, lorsque chaque valeur s’obtient à partir de celle qui la précède en la multipliant par 1+r1 + r, c’est-à-dire lorsque le quotient de deux valeurs consécutives est toujours le même :

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

Le nombre rr s’exprime d’ordinaire en pourcentage : une population qui augmente de 33 pour cent par an a r=3100r = \frac{3}{100}, et une substance qui perd un cinquième de sa masse chaque heure a r=−15r = -\frac{1}{5}. Si r>0r > 0, on parle de croissance ; si −1<r<0-1 < r < 0, de décroissance.

LemmeCroissance à taux constant

Si Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n pour tout nn, avec P0>0P_0 > 0 et r>−1r > -1, alors Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n pour tout entier naturel nn. Toutes les valeurs sont strictement positives ; la suite est strictement croissante si r>0r > 0 et strictement décroissante si −1<r<0-1 < r < 0.

La formule est le terme général d’une suite géométrique de raison 1+r1 + r, et elle se démontre par récurrence. La figure montre les premières valeurs avec P0=1P_0 = 1, d’abord avec r=12r = \frac{1}{2}, puis avec r=−12r = -\frac{1}{2}.

Démonstration

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Pour n=1n = 1, la formule est l’hypothèse appliquée à P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Si la formule est vraie pour nn, l’hypothèse la donne pour n+1n + 1 ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Comme P0P_0 et 1+r1 + r sont strictement positifs, toutes leurs puissances et tous leurs produits le sont aussi : toutes les valeurs sont strictement positives.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    La différence entre deux valeurs consécutives est rPnr P_n, qui a le signe de rr : la suite croît si r>0r > 0 et décroît si −1<r<0-1 < r < 0.

Par exemple, un capital de 10001000 placé à 55 pour cent par an à intérêts composés devient au bout de trois ans

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

c’est-à-dire 1157,625, alors qu’à intérêts simples il deviendrait 11501150. La différence, faible au début, croît sans être majorée avec le nombre d’années ; le problème résolu 2 démontre qu’à partir de la deuxième année les intérêts composés dépassent toujours les intérêts simples, et l’étude systématique des capitaux et des taux d’intérêt relève du cours de Mathématiques financières.