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Topos Uranos
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지수적 증가와 감소의 모형

요약

이 수업은 지수함수와 로그함수를 같은 길이의 기간마다 같은 비율로 변하는 양의 기술에 응용한다. 일정한 비의 이산적 증가와 연속 모형 P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}를 공부하고, 연속 모형에서 배가 시간과 반감기가 측정하는 순간에 의존하지 않음을 증명하며, 그 결과를 방사성 붕괴, 탄소 14 연대 측정, 뉴턴의 냉각 법칙에 응용한다. 이어서 두 자료로부터 모형의 매개변수를 정하는 방법을 다루고, 지수적인 자료가 반로그 그래프에서 한 직선 위에 놓임을 증명하며, 마지막으로 로지스틱 모형을 다룬다. 이 모형의 증가는 유계이고 그 그래프는 중점에 대하여 대칭이다.

학습 목표

  1. 이산적·연속적 증가 모형과 감쇠 모형을 알아보고, 기간당 변화율을 모형의 상수와 연결한다.
  2. 배가 시간과 반감기를 계산하여 사용하고, 이를 방사성 붕괴, 탄소 14 연대 측정, 물체의 냉각에 응용한다.
  3. 두 자료로부터 지수 모형의 매개변수를 정하고, 반로그 그래프에서 지수적인 자료를 알아본다.
  4. 로지스틱 모형을 탐구한다. 곧 그 유계성, 단조성, 그리고 상계의 절반에 이르는 점에 대한 그래프의 대칭성이다.

일정한 비의 증가

양이 늘어나는 기본적인 방식은 두 가지이다. 각 기간마다 같은 양이 더해지면 그 값들은 등차수열을 이루고 그래프는 직선이다. 단리로 불어나는 원금이 이렇게 늘어나며, 해마다 같은 이자를 받는다. 반면 각 기간마다 같은 수가 곱해지면 그 값들은 등비수열을 이룬다. 복리로 불어나는 원금이 이렇게 늘어나며, 각 해의 이자는 쌓인 원금에 대하여 계산된다. 또한 각 세포가 일정한 시간에 분열하는 세균 개체군도 이렇게 늘어난다. 두 수열은 모두 합, 수열, 귀납법 수업에서 공부했다. 이 수업은 그중 둘째와 그 연속 형태를 다룬다.

P0>0P_0 > 0을 어떤 양의 초깃값이라 하고, PnP_n을 nn기간 뒤의 값이라 하자. 이 양이 기간당 일정한 비 rr(단, r>−1r > -1)로 변한다는 것은 각 값이 바로 앞의 값에 1+r1 + r을 곱하여 얻어진다는 것, 곧 이웃한 두 값의 몫이 항상 같다는 것이다:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

수 rr은 보통 백분율로 나타낸다. 해마다 33퍼센트씩 늘어나는 개체군에서는 r=3100r = \frac{3}{100}이고, 매시간 질량의 오분의 일을 잃는 물질에서는 r=−15r = -\frac{1}{5}이다. r>0r > 0이면 증가라 하고, −1<r<0-1 < r < 0이면 감쇠라 한다.

보조정리일정한 비의 증가

Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n이 모든 nn에 대하여 성립하고 P0>0P_0 > 0이고 r>−1r > -1이면, Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n가 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다. 모든 값은 양수이다. 수열은 r>0r > 0이면 엄격하게 증가하고, −1<r<0-1 < r < 0이면 엄격하게 감소한다.

이 공식은 공비가 1+r1 + r인 등비수열의 일반항이며, 귀납법으로 증명된다. 그림은 P0=1P_0 = 1일 때의 처음 몇 값을, 먼저 r=12r = \frac{1}{2}으로, 이어서 r=−12r = -\frac{1}{2}로 보여 준다.

증명

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    n=1n = 1일 때, 공식은 P0P_0에 가정을 적용한 것이다.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    공식이 nn에서 성립하면, 가정에 의하여 n+1n + 1에서도 성립한다. 수학적 귀납법의 원리에 의하여 모든 자연수에서 성립한다.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    P0P_0과 1+r1 + r은 양수이므로 그 거듭제곱과 곱도 모두 양수이다. 따라서 모든 값은 양수이다.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    이웃한 두 값의 차는 rPnr P_n이고, 이것은 rr과 같은 부호를 가진다. 수열은 r>0r > 0이면 증가하고, −1<r<0-1 < r < 0이면 감소한다.

예를 들어, 원금 10001000을 연 55퍼센트의 복리로 운용하면 삼 년 뒤의 원리합계는

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

곧 1157.625가 되는 반면, 단리로는 11501150이 된다. 이 차이는 처음에는 작지만 햇수와 함께 한없이 커진다. 예제 2에서는 둘째 해부터 복리가 항상 단리보다 크다는 것을 증명한다. 원금과 이자율의 체계적인 연구는 재무 수학 과정에서 다룬다.