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Topos Uranos
Deutsch

Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls

Zusammenfassung

Diese Lektion wendet die Exponential- und die Logarithmusfunktion auf die Beschreibung von Größen an, die sich in gleichen Zeiträumen im gleichen Verhältnis ändern. Sie untersucht das diskrete Wachstum mit konstanter Rate und das stetige Modell P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, beweist, dass bei diesem die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit nicht vom Zeitpunkt der Messung abhängen, und wendet das Ergebnis auf den radioaktiven Zerfall, die Radiokarbonmethode und das newtonsche Abkühlungsgesetz an. Anschließend zeigt sie, wie man die Parameter eines Modells aus zwei Daten bestimmt, beweist, dass exponentielle Daten in einer halblogarithmischen Darstellung auf einer Geraden liegen, und schließt mit dem logistischen Modell, dessen Wachstum beschränkt ist und dessen Graph punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt ist.

Lernziele

  1. Die Modelle diskreten und stetigen Wachstums und diskreter und stetiger Abnahme erkennen und die Änderungsrate pro Periode mit der Konstanten des Modells in Beziehung setzen.
  2. Die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit berechnen und verwenden und sie auf den radioaktiven Zerfall, die Radiokarbonmethode und die Abkühlung eines Körpers anwenden.
  3. Die Parameter eines exponentiellen Modells aus zwei Daten bestimmen und exponentielle Daten in einer halblogarithmischen Darstellung erkennen.
  4. Das logistische Modell untersuchen: seine Beschränktheit, seine Monotonie und die Symmetrie seines Graphen bezüglich des Punktes, an dem es die Hälfte seiner Schranke erreicht.

Wachstum mit konstanter Rate

Eine Größe kann auf zwei elementare Weisen zunehmen. Wird in jeder Periode dieselbe Menge addiert, so bilden ihre Werte eine arithmetische Folge, und ihr Graph ist eine Gerade; so wächst ein Kapital bei einfacher Verzinsung, das jedes Jahr dieselben Zinsen erhält. Wird sie dagegen in jeder Periode mit demselben Faktor multipliziert, so bilden ihre Werte eine geometrische Folge; so wächst ein Kapital mit Zinseszins, dessen Zinsen jedes Jahr auf das angesammelte Kapital berechnet werden, und so wächst eine Bakterienpopulation, in der sich jede Zelle nach einer festen Zeit teilt. Beide Folgen wurden in der Lektion über Summen, arithmetische und geometrische Folgen und Induktion untersucht; diese Lektion befasst sich mit der zweiten und mit ihrer stetigen Version.

Es sei P0>0P_0 > 0 der Anfangswert einer Größe und PnP_n ihr Wert nach nn Perioden. Man sagt, die Größe ändert sich mit der konstanten Rate rr pro Periode, mit r>−1r > -1, wenn jeder Wert aus dem vorangehenden durch Multiplikation mit 1+r1 + r hervorgeht, das heißt, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte stets derselbe ist:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

Die Zahl rr wird meist in Prozent angegeben: Eine Population, die um 33 Prozent pro Jahr wächst, hat r=3100r = \frac{3}{100}, und ein Stoff, der jede Stunde ein Fünftel seiner Masse verliert, hat r=−15r = -\frac{1}{5}. Ist r>0r > 0, spricht man von Wachstum; ist −1<r<0-1 < r < 0, von Abnahme.

LemmaWachstum mit konstanter Rate

Wenn Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n für jedes nn gilt, mit P0>0P_0 > 0 und r>−1r > -1, dann gilt Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n für jede natürliche Zahl nn. Alle Werte sind positiv; die Folge ist streng monoton wachsend, wenn r>0r > 0, und streng monoton fallend, wenn −1<r<0-1 < r < 0.

Die Formel ist der allgemeine Term einer geometrischen Folge mit dem Quotienten 1+r1 + r und wird durch Induktion bewiesen. Die Abbildung zeigt die ersten Werte mit P0=1P_0 = 1, zuerst mit r=12r = \frac{1}{2} und danach mit r=−12r = -\frac{1}{2}.

Beweis

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Für n=1n = 1 ist die Formel die auf P0P_0 angewandte Voraussetzung.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Gilt die Formel für nn, so liefert die Voraussetzung sie für n+1n + 1; nach dem Induktionsprinzip gilt sie für jede natürliche Zahl.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Da P0P_0 und 1+r1 + r positiv sind, sind es auch alle ihre Potenzen und Produkte: Alle Werte sind positiv.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte ist rPnr P_n, und sie hat das Vorzeichen von rr: Die Folge wächst, wenn r>0r > 0, und fällt, wenn −1<r<0-1 < r < 0.

Zum Beispiel wächst ein Kapital von 10001000 bei 55 Prozent jährlichem Zinseszins in drei Jahren auf

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

also auf 1157,625, während es bei einfacher Verzinsung auf 11501150 anwüchse. Die Differenz, anfangs klein, wächst mit der Zahl der Jahre unbeschränkt; die gelöste Aufgabe 2 beweist, dass der Zinseszins vom zweiten Jahr an stets die einfache Verzinsung übertrifft, und das systematische Studium der Kapitalien und der Zinssätze ist Gegenstand des Kurses Finanzmathematik.