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Topos Uranos
Deutsch

Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen

Zusammenfassung

Diese Lektion lehrt, Gleichungen und Ungleichungen zu lösen, in denen die Unbekannte in einem Exponenten oder im Argument eines Logarithmus auftritt. Sie stützt sich auf zwei Eigenschaften der Exponential- und der Logarithmusfunktionen: ihre Injektivität, die es erlaubt, Exponenten und Argumente gleichzusetzen, und ihre Monotonie, die je nach Basis das Ungleichheitszeichen erhält oder umkehrt. Mit ihnen werden untersucht: das Bringen auf eine gemeinsame Basis, das Logarithmieren, die Substitution, die eine Gleichung in eine quadratische verwandelt, die Definitionsmenge von Logarithmusgleichungen und die Scheinlösungen, die entstehen, wenn man die Logarithmengesetze außerhalb ihrer Definitionsmenge anwendet, die Gleichungssysteme, die Gleichungen, die kein algebraisches Verfahren löst und deren einzige Lösung man durch Bisektion eingrenzt, und die Fallunterscheidung nach der Anzahl der Lösungen einer Gleichung mit einem Parameter.

Lernziele

  1. Exponentialgleichungen lösen, indem man auf eine gemeinsame Basis bringt, logarithmiert oder eine Substitution verwendet, die sie in quadratische Gleichungen verwandelt, und dabei die nicht positiven Werte der neuen Variablen verwirft.
  2. Logarithmusgleichungen lösen, indem man zuerst ihre Definitionsmenge bestimmt, die Logarithmengesetze nur dort anwendet, wo sie gelten, und die Scheinlösungen erkennt.
  3. Exponential- und Logarithmusungleichungen lösen, wobei das Ungleichheitszeichen je nach Basis erhalten bleibt oder sich umkehrt, und die Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen angeben.
  4. Mit dem Zwischenwertsatz beweisen, dass eine Gleichung ohne algebraisches Verfahren genau eine Lösung hat, diese durch Bisektion eingrenzen und für eine Gleichung mit einem Parameter eine Fallunterscheidung nach der Anzahl der Lösungen durchführen.

Exponentialgleichungen

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte in einem Exponenten vorkommt, etwa 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} oder 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Um sie zu lösen, verwendet man die Tatsachen, die in den Lektionen über die Exponentialfunktion und über die Logarithmusfunktion untersucht wurden. Ist a>0a > 0 und a≠1a \neq 1, so ist die Potenz axa^x für jedes reelle xx definiert und stets positiv; sie ist streng monoton wachsend, wenn a>1a > 1, und streng monoton fallend, wenn 0<a<10 < a < 1, und sie nimmt jeden positiven Wert genau einmal an. Ihre Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis aa, definiert auf den positiven reellen Zahlen, der die Produkt-, die Quotienten- und die Potenzregel erfüllt, sofern die Argumente positiv sind, sowie die Formel für den Basiswechsel.

SatzInjektivität der Exponentialfunktion und des Logarithmus

Es sei aa eine positive reelle Zahl ungleich 11. Für alle reellen Zahlen uu und vv gilt au=ava^u = a^v genau dann, wenn u=vu = v; für alle positiven reellen Zahlen uu und vv gilt log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v genau dann, wenn u=vu = v. Außerdem hat, wenn c>0c > 0, die Gleichung ax=ca^x = c genau eine Lösung, nämlich x=log⁡acx = \log_a c, und wenn c≤0c \leq 0, hat sie keine.

Man verwendet die strenge Monotonie der Exponentialfunktion und die Definition des Logarithmus als ihre Umkehrfunktion. Die Abbildung folgt dem Fall a=2a = 2: Die waagerechte Gerade in der Höhe 33 schneidet den Graphen von y=2xy = 2^x in einem einzigen Punkt, und die in der Höhe −2-2 schneidet ihn nicht.

Beweis

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Ist u=vu = v, so stimmen die Potenzen überein, denn eine Funktion ordnet jeder Zahl einen einzigen Wert zu. Umgekehrt: Ist u≠vu \neq v, so ist eine der beiden Zahlen kleiner, und nach der strengen Monotonie der Exponentialfunktion, bewiesen im Satz über die Eigenschaften der Exponentialfunktion, sind ihre Potenzen verschieden.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Ist log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, so wendet man auf beide Seiten die Exponentialfunktion zur Basis aa an, die den Logarithmus aufhebt, und erhält u=vu = v; die Umkehrung ist offensichtlich.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Ist c>0c > 0, so ist die Zahl log⁡ac\log_a c nach der Definition des Logarithmus eine Lösung; und sie ist die einzige, denn jede Lösung hat dieselbe Potenz wie sie.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Ist c≤0c \leq 0, so gibt es keine Lösung, denn die Potenz axa^x ist für jedes reelle xx positiv.

Auf eine gemeinsame Basis bringen

Lassen sich beide Seiten als Potenzen einer gemeinsamen Basis schreiben, so erlaubt die Injektivität, die Exponenten gleichzusetzen, und die Exponentialgleichung wird zu einer algebraischen Gleichung. Da zum Beispiel 8=238 = 2^3 und 4=224 = 2^2, ist die Gleichung 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} äquivalent zu 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, das heißt zu 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, deren Lösung x=5x = 5 ist:

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Logarithmieren

Sind die Basen keine Potenzen einer gemeinsamen Zahl, wie etwa 22 und 33, so logarithmiert man beide Seiten. Sind beide Seiten positiv, so garantiert die Injektivität des Logarithmus, dass die erhaltene Gleichung zur ursprünglichen äquivalent ist: Es gehen keine Lösungen verloren, und es kommen keine hinzu. Jede Basis ist geeignet; gewöhnlich verwendet man den natürlichen Logarithmus, der in der Lektion über die Logarithmusfunktion definiert wurde, oder den Logarithmus zur Basis 1010.

BeispielEine Gleichung mit zwei Basen

Man löse die Gleichung 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Beweis

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    Beide Seiten sind für jedes xx positiv. Wir nehmen von beiden den natürlichen Logarithmus, was nach der Injektivität des Logarithmus eine äquivalente Gleichung ergibt.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    Die Potenzregel holt die Exponenten als Faktoren herunter.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    Wir fassen die Terme mit xx auf einer Seite zusammen. Der Koeffizient ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 ist positiv, denn der natürliche Logarithmus ist streng monoton wachsend und 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    Wir dividieren durch diesen Koeffizienten. Nach der Quotientenregel ist der Nenner ln⁡32\ln \frac{3}{2}, und nach dem Basiswechsel ist die Lösung ein Logarithmus zur Basis 32\frac{3}{2}; sie beträgt ungefähr 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Eine Wertetabelle bestätigt die Lage: An der Stelle 22 ist die erste Potenz größer, an der Stelle 33 die zweite; die Graphen schneiden sich zwischen diesen beiden Zahlen, im einzigen Punkt, in dem xx die Gleichung erfüllt.

Gleichungen, die sich auf eine quadratische reduzieren lassen

Treten in der Gleichung axa^x und a2xa^{2x} auf oder Potenzen, die sich auf sie reduzieren lassen, wie 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, so verwandelt die Substitution t=axt = a^x sie in eine quadratische Gleichung in tt, die man mit den Verfahren der Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome löst. Allerdings durchläuft die neue Variable nicht alle reellen Zahlen: Da axa^x stets positiv ist, sind nur die positiven Werte von tt zulässig. Jede positive Nullstelle liefert nach dem Satz über die Injektivität genau eine Lösung x=log⁡atx = \log_a t, und jede negative Nullstelle oder Nullstelle gleich null wird verworfen.

BeispielEine Substitution

Man löse die Gleichung 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Beweis

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    Wir schreiben 4x4^x als das Quadrat von 2x2^x und nennen tt diese Potenz, die positiv ist.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    Die Gleichung ist quadratisch in tt, und man faktorisiert sie, indem man zwei Zahlen mit dem Produkt −6-6 und der Summe −1-1 sucht.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    Die Nullstelle t=−2t = -2 wird verworfen, denn tt ist positiv: Die Gleichung 2x=−22^x = -2 hat keine Lösung. Die Abbildung zeigt die Parabel in der Ebene der Variablen tt, von der nur das Stück mit t>0t > 0 zählt.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    Die Nullstelle t=3t = 3 ist positiv und liefert nach dem Satz über die Injektivität genau eine Lösung; sie beträgt ungefähr 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Probe: Nach der Definition des Logarithmus ist 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, und das Quadrat dieser Potenz ist 99.