Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό διδάσκει πώς λύνονται εξισώσεις και ανισώσεις στις οποίες ο άγνωστος εμφανίζεται σε εκθέτη ή στο όρισμα ενός λογαρίθμου. Στηρίζεται σε δύο ιδιότητες της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης: στο ότι είναι ένα προς ένα, πράγμα που επιτρέπει να εξισώνουμε εκθέτες και ορίσματα, και στη μονοτονία τους, που διατηρεί ή αντιστρέφει τη φορά μιας ανισότητας ανάλογα με τη βάση. Με αυτές μελετώνται η αναγωγή στην ίδια βάση, η λογαρίθμιση, η αλλαγή μεταβλητής που μετατρέπει μια εξίσωση σε δευτεροβάθμια, το πεδίο ορισμού των λογαριθμικών εξισώσεων και οι ξένες λύσεις που εμφανίζονται όταν οι ιδιότητες των λογαρίθμων εφαρμόζονται έξω από το πεδίο ορισμού τους, τα συστήματα, οι εξισώσεις που δεν τις λύνει καμία αλγεβρική μέθοδος, των οποίων η μοναδική λύση εντοπίζεται με διχοτόμηση, και η διερεύνηση του πλήθους των λύσεων μιας εξίσωσης με παράμετρο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να λύνει εκθετικές εξισώσεις με αναγωγή στην ίδια βάση, με λογαρίθμιση ή με μια αλλαγή μεταβλητής που τις μετατρέπει σε δευτεροβάθμιες, απορρίπτοντας τις μη θετικές τιμές της νέας μεταβλητής.
  2. Να λύνει λογαριθμικές εξισώσεις προσδιορίζοντας πρώτα το πεδίο ορισμού τους, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων μόνο όπου ισχύουν και αναγνωρίζοντας τις ξένες λύσεις.
  3. Να λύνει εκθετικές και λογαριθμικές ανισώσεις, διατηρώντας ή αντιστρέφοντας την ανισότητα ανάλογα με τη βάση, και να εκφράζει το σύνολο λύσεων ως ένωση διαστημάτων.
  4. Να αποδεικνύει, με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, ότι μια εξίσωση χωρίς αλγεβρική μέθοδο έχει μοναδική λύση, να την εντοπίζει με διχοτόμηση και να διερευνά το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης με παράμετρο.

Εκθετικές εξισώσεις

Μια εκθετική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος εμφανίζεται σε κάποιον εκθέτη, όπως η 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} ή η 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Για να λυθούν χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα που μελετήθηκαν στα μαθήματα για την εκθετική συνάρτηση και για τη λογαριθμική συνάρτηση. Αν a>0a > 0 και a≠1a \neq 1, η δύναμη axa^x ορίζεται για κάθε πραγματικό xx και είναι πάντα θετική· είναι γνησίως αύξουσα αν a>1a > 1 και γνησίως φθίνουσα αν 0<a<10 < a < 1, και παίρνει κάθε θετική τιμή ακριβώς μία φορά. Η αντίστροφή της είναι ο λογάριθμος με βάση aa, ορισμένος στους θετικούς πραγματικούς, που ικανοποιεί τις ιδιότητες του γινομένου, του πηλίκου και της δύναμης, εφόσον τα ορίσματα είναι θετικά, και τον τύπο αλλαγής βάσης.

ΘεώρημαΗ εκθετική συνάρτηση και ο λογάριθμος είναι ένα προς ένα

Έστω aa ένας θετικός πραγματικός διαφορετικός από το 11. Για όλους τους πραγματικούς uu και vv ισχύει au=ava^u = a^v αν και μόνο αν u=vu = v· για όλους τους θετικούς πραγματικούς uu και vv ισχύει log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v αν και μόνο αν u=vu = v. Επιπλέον, αν c>0c > 0, η εξίσωση ax=ca^x = c έχει ακριβώς μία λύση, την x=log⁡acx = \log_a c, και αν c≤0c \leq 0 δεν έχει καμία.

Χρησιμοποιούνται η γνήσια μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης και ο ορισμός του λογαρίθμου ως αντίστροφής της. Το σχήμα ακολουθεί την περίπτωση a=2a = 2: η οριζόντια ευθεία σε ύψος 33 τέμνει τη γραφική παράσταση της y=2xy = 2^x σε ένα μόνο σημείο, και η ευθεία σε ύψος −2-2 δεν την τέμνει.

Απόδειξη

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Αν u=vu = v, οι δυνάμεις συμπίπτουν, επειδή μια συνάρτηση αντιστοιχίζει σε κάθε αριθμό μία μόνο τιμή. Αντίστροφα, αν u≠vu \neq v, ο ένας από τους δύο είναι μικρότερος, και από τη γνήσια μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης, που αποδείχθηκε στο θεώρημα των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης, οι δυνάμεις τους είναι διαφορετικές.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Αν log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, εφαρμόζουμε και στα δύο μέλη την εκθετική συνάρτηση με βάση aa, που αναιρεί τον λογάριθμο, και προκύπτει u=vu = v· το αντίστροφο είναι προφανές.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Αν c>0c > 0, ο αριθμός log⁡ac\log_a c είναι λύση, από τον ορισμό του λογαρίθμου· και είναι η μοναδική, επειδή κάθε λύση έχει την ίδια δύναμη με αυτόν.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Αν c≤0c \leq 0, δεν υπάρχει λύση, επειδή η δύναμη axa^x είναι θετική για κάθε πραγματικό xx.

Αναγωγή στην ίδια βάση

Αν τα δύο μέλη μπορούν να γραφούν ως δυνάμεις της ίδιας βάσης, η ιδιότητα ένα προς ένα επιτρέπει να εξισώσουμε τους εκθέτες, και η εκθετική εξίσωση μετατρέπεται σε αλγεβρική εξίσωση. Για παράδειγμα, επειδή 8=238 = 2^3 και 4=224 = 2^2, η εξίσωση 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} είναι ισοδύναμη με την 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, δηλαδή με την 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, της οποίας η λύση είναι x=5x = 5:

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Λογαρίθμιση

Όταν οι βάσεις δεν είναι δυνάμεις του ίδιου αριθμού, όπως το 22 και το 33, λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη. Αν τα δύο μέλη είναι θετικά, η ιδιότητα ένα προς ένα του λογαρίθμου εγγυάται ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική: ούτε χάνονται ούτε προστίθενται λύσεις. Οποιαδήποτε βάση κάνει· συνήθως χρησιμοποιείται ο φυσικός λογάριθμος, που ορίστηκε στο μάθημα για τη λογαριθμική συνάρτηση, ή ο λογάριθμος με βάση 1010.

ΠαράδειγμαΜια εξίσωση με δύο βάσεις

Να λυθεί η εξίσωση 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Απόδειξη

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    Τα δύο μέλη είναι θετικά για κάθε xx. Παίρνουμε τον φυσικό λογάριθμο και των δύο, πράγμα που δίνει ισοδύναμη εξίσωση από την ιδιότητα ένα προς ένα του λογαρίθμου.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    Η ιδιότητα της δύναμης κατεβάζει τους εκθέτες ως παράγοντες.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    Συγκεντρώνουμε τους όρους με xx στο ένα μέλος. Ο συντελεστής ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 είναι θετικός, επειδή ο φυσικός λογάριθμος είναι γνησίως αύξων και 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    Διαιρούμε με αυτόν τον συντελεστή. Από την ιδιότητα του πηλίκου, ο παρονομαστής είναι ln⁡32\ln \frac{3}{2}, και από την αλλαγή βάσης η λύση είναι ένας λογάριθμος με βάση 32\frac{3}{2}· ισούται περίπου με 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Ένας πίνακας τιμών επιβεβαιώνει τη θέση της: στο 22 η πρώτη δύναμη είναι μεγαλύτερη, και στο 33 η δεύτερη· οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται ανάμεσα στους δύο αριθμούς, στο μοναδικό σημείο όπου το xx ικανοποιεί την εξίσωση.

Εξισώσεις που ανάγονται σε δευτεροβάθμιες

Αν στην εξίσωση εμφανίζονται οι axa^x και a2xa^{2x}, ή δυνάμεις που ανάγονται σε αυτές, όπως 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, η αλλαγή μεταβλητής t=axt = a^x τη μετατρέπει σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς tt, που λύνεται με τις μεθόδους του μαθήματος για την παραγοντοποίηση του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου. Ωστόσο, η νέα μεταβλητή δεν διατρέχει όλους τους πραγματικούς: επειδή η axa^x είναι πάντα θετική, γίνονται δεκτές μόνο οι θετικές τιμές του tt. Κάθε θετική ρίζα δίνει, από το θεώρημα της ιδιότητας ένα προς ένα, ακριβώς μία λύση x=log⁡atx = \log_a t, και κάθε αρνητική ή μηδενική ρίζα απορρίπτεται.

ΠαράδειγμαΜια αλλαγή μεταβλητής

Να λυθεί η εξίσωση 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Απόδειξη

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    Γράφουμε το 4x4^x ως το τετράγωνο του 2x2^x και ονομάζουμε tt αυτή τη δύναμη, που είναι θετική.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    Η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια ως προς tt, και παραγοντοποιείται αν βρούμε δύο αριθμούς με γινόμενο −6-6 και άθροισμα −1-1.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    Η ρίζα t=−2t = -2 απορρίπτεται, επειδή το tt είναι θετικό: η εξίσωση 2x=−22^x = -2 δεν έχει λύση. Το σχήμα δείχνει την παραβολή στο επίπεδο της μεταβλητής tt, από την οποία μετράει μόνο το κομμάτι με t>0t > 0.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    Η ρίζα t=3t = 3 είναι θετική και δίνει ακριβώς μία λύση, από το θεώρημα της ιδιότητας ένα προς ένα· ισούται περίπου με 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Επαλήθευση: από τον ορισμό του λογαρίθμου, 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, και το τετράγωνο αυτής της δύναμης είναι 99.