Η λογαριθμική συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Ο λογάριθμος ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής

Στο μάθημα για την εκθετική συνάρτηση και τη δύναμη με πραγματικό εκθέτη αποδείχθηκε ότι, αν $a > 0$ και $a \neq 1$, η συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε πραγματικό $x$ τη δύναμη $a^x$ είναι γνησίως αύξουσα αν $a > 1$ και γνησίως φθίνουσα αν $0 < a < 1$· και, από το θεώρημα του συνόλου τιμών της εκθετικής συνάρτησης, που αποδείχθηκε εκεί με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών και την ανισότητα του Μπερνούλι, παίρνει επιπλέον κάθε θετική τιμή ακριβώς μία φορά, και είναι επομένως μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το $\mathbb{R}$ στο διάστημα $\ioo{0}{\infty}$. Από το θεώρημα της αντίστροφης γνησίως μονότονης συνάρτησης, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τις πράξεις συναρτήσεων και την αντίστροφη συνάρτηση, η συνάρτηση αυτή έχει αντίστροφη. Αν ισχύει αυτό, για κάθε θετικό αριθμό $x$ υπάρχει ένας μοναδικός εκθέτης $y$ τέτοιος ώστε $a^y = x$, και ο ορισμός που ακολουθεί έχει νόημα.

Έστω $a > 0$, με $a \neq 1$, και $x > 0$. Ο λογάριθμος με βάση $a$ του $x$, που γράφεται $\log_a x$, είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός $y$ τέτοιος ώστε $a^y = x$. Η συνάρτηση $\log_a$, ορισμένη στο $\ioo{0}{\infty}$ και με πραγματικές τιμές, είναι η αντίστροφη της εκθετικής με βάση $a$.

Ο λογάριθμος απαντά, επομένως, στο ερώτημα για τον εκθέτη: ο $\log_a x$ είναι ο αριθμός στον οποίο πρέπει να υψωθεί ο $a$ για να προκύψει ο $x$. Έτσι, επειδή $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ και, σύμφωνα με το μάθημα για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη και τα ριζικά, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, έχουμε:

Επειδή η $\log_a$ και η εκθετική με βάση $a$ είναι αντίστροφες, η καθεμιά αναιρεί ό,τι κάνει η άλλη: η πρώτη ταυτότητα ισχύει για κάθε θετικό $x$, και η δεύτερη για κάθε πραγματικό $y$.

Ειδικότερα, από τις $a^0 = 1$ και $a^1 = a$ έπονται οι $\log_a 1 = 0$ και $\log_a a = 1$ για κάθε βάση. Ούτε το μηδέν ούτε οι αρνητικοί αριθμοί έχουν λογάριθμο, επειδή κάθε δύναμη με θετική βάση είναι θετική: δεν υπάρχει κανένας $y$ τέτοιος ώστε $2^y = -4$. Δύο βάσεις έχουν δικό τους όνομα. Η βάση $e$, ο αριθμός που μελετήθηκε στο μάθημα για τον αριθμό e και τη φυσική εκθετική συνάρτηση, δίνει τον φυσικό λογάριθμο, που γράφεται $\ln x$· η βάση $10$ δίνει τον δεκαδικό λογάριθμο, που γράφεται $\log_{10} x$. Σε πολλά βιβλία και αριθμομηχανές γράφεται $\log x$ χωρίς βάση, άλλοτε για τον φυσικό και άλλοτε για τον δεκαδικό· σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων η βάση γράφεται πάντα.

Οι λογάριθμοι δημοσιεύτηκαν από τον Τζον Νάπιερ το 1614, και ο Χένρι Μπριγκς υπολόγισε λίγα χρόνια αργότερα τους πρώτους πίνακες δεκαδικών λογαρίθμων. Για περισσότερους από τρεις αιώνες χρησίμευσαν για τη συντόμευση των υπολογισμών της αστρονομίας, της ναυσιπλοΐας και της μηχανικής, επειδή, όπως αποδεικνύεται στην παράγραφο που ακολουθεί, μετατρέπουν τα γινόμενα σε αθροίσματα. Η γραφική τους παράσταση προκύπτει από εκείνη της εκθετικής με το θεώρημα της γραφικής παράστασης της αντίστροφης συνάρτησης, από το ίδιο μάθημα για την αντίστροφη συνάρτηση: η γραφική παράσταση μιας αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης και εκείνη της αντίστροφής της είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$.