A função logarítmica e suas propriedades

O logaritmo como função inversa da exponencial

Na aula sobre a função exponencial e a potência de expoente real demonstrou-se que, se $a > 0$ e $a \neq 1$, a função que a cada real $x$ associa a potência $a^x$ é estritamente crescente se $a > 1$ e estritamente decrescente se $0 < a < 1$; e, pelo teorema do conjunto imagem da função exponencial, demonstrado ali com a completude dos reais e a desigualdade de Bernoulli, ela assume além disso cada valor positivo exatamente uma vez, e é portanto uma bijeção de $\mathbb{R}$ no intervalo $\ioo{0}{\infty}$. Pelo teorema da inversa de uma função estritamente monótona, demonstrado na aula sobre as operações com funções, essa função tem inversa. Se isso é assim, para cada número positivo $x$ existe um único expoente $y$ tal que $a^y = x$, e a definição abaixo tem sentido.

Sejam $a > 0$, com $a \neq 1$, e $x > 0$. O logaritmo na base $a$ de $x$, que se escreve $\log_a x$, é o único número real $y$ tal que $a^y = x$. A função $\log_a$, definida em $\ioo{0}{\infty}$ e com valores reais, é a inversa da exponencial de base $a$.

O logaritmo responde, portanto, à pergunta pelo expoente: $\log_a x$ é o número ao qual é preciso elevar $a$ para obter $x$. Assim, como $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ e, segundo a aula sobre potências de expoente racional e radicais, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, tem-se:

Como $\log_a$ e a exponencial de base $a$ são inversas, cada uma desfaz o que a outra faz: a primeira identidade vale para todo $x$ positivo, e a segunda para todo $y$ real.

Em particular, de $a^0 = 1$ e $a^1 = a$ seguem-se $\log_a 1 = 0$ e $\log_a a = 1$ para toda base. Nem o zero nem os números negativos têm logaritmo, porque toda potência de base positiva é positiva: não existe nenhum $y$ tal que $2^y = -4$. Duas bases têm nome próprio. A base $e$, o número estudado na aula sobre o número e e a exponencial natural, dá o logaritmo natural, que se escreve $\ln x$; a base $10$ dá o logaritmo decimal, que se escreve $\log_{10} x$. Em muitos textos e calculadoras escreve-se $\log x$ sem base, umas vezes para o natural e outras para o decimal; neste curso a base é sempre escrita.

Os logaritmos foram publicados por John Napier em 1614, e Henry Briggs calculou poucos anos depois as primeiras tábuas de logaritmos decimais. Durante mais de três séculos serviram para abreviar os cálculos da astronomia, da navegação e da engenharia porque, como se demonstra mais adiante, convertem os produtos em somas. O gráfico do logaritmo obtém-se do da exponencial pelo teorema do gráfico da função inversa, da mesma aula sobre a função inversa: o gráfico de uma função bijetora e o de sua inversa são simétricos em relação à reta $y = x$.