Логарифмическая функция и её свойства

Логарифм как функция, обратная к показательной

В уроке о показательной функции и степени с действительным показателем было доказано, что если $a > 0$ и $a \neq 1$, то функция, сопоставляющая каждому действительному $x$ степень $a^x$, строго возрастает при $a > 1$ и строго убывает при $0 < a < 1$; кроме того, по теореме о множестве значений показательной функции, доказанной там с помощью полноты действительных чисел и неравенства Бернулли, она принимает каждое положительное значение ровно один раз и, следовательно, является биекцией $\mathbb{R}$ на промежуток $\ioo{0}{\infty}$. По теореме об обратной к строго монотонной функции, доказанной в уроке о действиях с функциями и обратной функции, эта функция имеет обратную. Если это так, то для каждого положительного числа $x$ существует единственный показатель $y$, такой что $a^y = x$, и следующее определение имеет смысл.

Пусть $a > 0$, причём $a \neq 1$, и $x > 0$. Логарифмом по основанию $a$ числа $x$, который обозначается $\log_a x$, называется единственное действительное число $y$, такое что $a^y = x$. Функция $\log_a$, определённая на $\ioo{0}{\infty}$ и принимающая действительные значения, является обратной к показательной функции с основанием $a$.

Таким образом, логарифм отвечает на вопрос о показателе: $\log_a x$ есть число, в которое нужно возвести $a$, чтобы получить $x$. Так, поскольку $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ и, согласно уроку о степенях с рациональным показателем и радикалах, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, имеем:

Поскольку $\log_a$ и показательная функция с основанием $a$ взаимно обратны, каждая из них отменяет действие другой: первое тождество верно для всякого положительного $x$, а второе для всякого действительного $y$.

В частности, из $a^0 = 1$ и $a^1 = a$ следуют $\log_a 1 = 0$ и $\log_a a = 1$ при любом основании. Ни нуль, ни отрицательные числа не имеют логарифма, поскольку всякая степень с положительным основанием положительна: не существует такого $y$, что $2^y = -4$. Два основания имеют собственные имена. Основание $e$, число, изученное в уроке о числе e и натуральной экспоненте, даёт натуральный логарифм, который обозначается $\ln x$; основание $10$ даёт десятичный логарифм, который обозначается $\log_{10} x$. Во многих книгах и калькуляторах пишут $\log x$ без основания, иногда для натурального, иногда для десятичного; в этом курсе основание пишется всегда.

Логарифмы опубликовал Джон Непер в 1614 году, а Генри Бриггс через несколько лет вычислил первые таблицы десятичных логарифмов. Более трёх столетий они служили для сокращения вычислений в астрономии, навигации и технике, поскольку, как доказывается в следующем пункте, превращают произведения в суммы. Их график получается из графика показательной функции по теореме о графике обратной функции из того же урока об обратной функции: график биективной функции и график обратной к ней симметричны относительно прямой $y = x$.