Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften

Der Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

In der Lektion über die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten wurde bewiesen: Ist $a > 0$ und $a \neq 1$, so ist die Funktion, die jeder reellen Zahl $x$ die Potenz $a^x$ zuordnet, streng monoton wachsend, falls $a > 1$, und streng monoton fallend, falls $0 < a < 1$; nach dem Satz über die Wertemenge der Exponentialfunktion, der dort mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen und der bernoullischen Ungleichung bewiesen wurde, nimmt sie außerdem jeden positiven Wert genau einmal an und ist daher eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf das Intervall $\ioo{0}{\infty}$. Nach dem Satz über die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion, bewiesen in der Lektion über die Funktionsverknüpfung, besitzt diese Funktion eine Umkehrfunktion. Wenn dem so ist, gibt es zu jeder positiven Zahl $x$ genau einen Exponenten $y$ mit $a^y = x$, und die folgende Definition ist sinnvoll.

Es seien $a > 0$, mit $a \neq 1$, und $x > 0$. Der Logarithmus zur Basis $a$ von $x$, geschrieben $\log_a x$, ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl $y$ mit $a^y = x$. Die Funktion $\log_a$, definiert auf $\ioo{0}{\infty}$ und mit reellen Werten, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis $a$.

Der Logarithmus beantwortet also die Frage nach dem Exponenten: $\log_a x$ ist die Zahl, mit der man $a$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten. Da also $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ und, nach der Lektion über Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$ gilt, hat man:

Da $\log_a$ und die Exponentialfunktion zur Basis $a$ zueinander invers sind, macht jede rückgängig, was die andere bewirkt: Die erste Identität gilt für jedes positive $x$, die zweite für jedes reelle $y$.

Insbesondere folgen aus $a^0 = 1$ und $a^1 = a$ die Gleichungen $\log_a 1 = 0$ und $\log_a a = 1$ für jede Basis. Weder die Null noch die negativen Zahlen haben einen Logarithmus, denn jede Potenz mit positiver Basis ist positiv: Es gibt kein $y$ mit $2^y = -4$. Zwei Basen haben einen eigenen Namen. Die Basis $e$, die in der Lektion über die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion untersuchte Zahl, liefert den natürlichen Logarithmus, geschrieben $\ln x$; die Basis $10$ liefert den dekadischen Logarithmus, geschrieben $\log_{10} x$. In vielen Texten und auf vielen Taschenrechnern schreibt man $\log x$ ohne Basis, manchmal für den natürlichen, manchmal für den dekadischen; in diesem Kurs wird die Basis immer geschrieben.

Die Logarithmen wurden 1614 von John Napier veröffentlicht, und wenige Jahre später berechnete Henry Briggs die ersten Tafeln dekadischer Logarithmen. Mehr als drei Jahrhunderte lang dienten sie dazu, die Rechnungen der Astronomie, der Navigation und des Ingenieurwesens abzukürzen, weil sie, wie weiter unten bewiesen wird, Produkte in Summen verwandeln. Den Graphen des Logarithmus erhält man aus dem der Exponentialfunktion durch den Satz über den Graphen der Umkehrfunktion aus derselben Lektion über die Umkehrfunktion: Der Graph einer bijektiven Funktion und der ihrer Umkehrfunktion liegen symmetrisch zur Geraden $y = x$.