Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten

Die Potenz mit reellem Exponenten

In der Lektion über Potenzen mit rationalen Exponenten wurde $a^x$ für $a > 0$ und rationales $x$ definiert; es wurde bewiesen, dass die Definition nicht vom Bruch abhängt, mit dem man den Exponenten schreibt, dass die Potenzgesetze gelten und dass im Fall $a > 1$ die Potenz mit dem Exponenten wächst: Sind $r < s$ rational, so gilt $a^r < a^s$. Ohne Sinn bleibt dagegen ein Ausdruck wie $2^{\sqrt{2}}$, denn $\sqrt{2}$ ist kein Bruch, und keine Wurzel und keine ganzzahlige Potenz definiert ihn.

Nun liegt $\sqrt{2}$ oberhalb der rationalen Zahlen $1$, $\frac{7}{5}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1414}{1000}$, die sich ihr von unten nähern, und die Potenzen $2^1$, $2^{\frac{7}{5}}$, $2^{\frac{141}{100}}$, $2^{\frac{1414}{1000}}$ bilden eine wachsende Folge, deren Werte ungefähr 2; 2,639; 2,657 und 2,665 sind. Keine von ihnen übertrifft $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$, denn alle diese Exponenten sind kleiner als $\frac{3}{2}$. Ist dem so, dann liegt es nahe, $2^{\sqrt{2}}$ als die kleinste Zahl zu definieren, die von keiner Potenz $2^r$ mit rationalem $r$ und $r \leq \sqrt{2}$ übertroffen wird, also als ein Supremum; seine Existenz sichert die Vollständigkeit der reellen Zahlen, die in der Lektion über die Zahlbereiche vorgestellt wurde.

Die Definition durch Suprema

Es sei $a > 1$, und $x$ sei eine reelle Zahl. Mit $A_x$ bezeichnet man die Menge der Potenzen $a^r$ mit rationalem $r$ und $r \leq x$. Die Potenz mit reellem Exponenten $a^x$ ist das Supremum von $A_x$. Im Fall $0 < a < 1$ definiert man $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$, wobei die Basis $\frac{1}{a}$ größer als $1$ ist; und man definiert $1^x = 1$ für jedes reelle $x$.

Die Definition enthält zwei Behauptungen, die zu beweisen sind: dass das Supremum existiert und dass, falls $x$ rational ist, die neue Zahl $a^x$ dieselbe ist wie die schon bekannte. Ohne die zweite hätte das Symbol $a^x$ für rationale Exponenten zwei Bedeutungen.

Auch die Definition für Basen kleiner als $1$ setzt die bisherige fort: Ist $0 < a < 1$ und $r$ rational, so gilt nach den Potenzgesetzen für rationale Exponenten $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$. Außerdem folgt aus der Definition unmittelbar eine Regel, die oft gebraucht wird: Für jede Basis $a > 0$ und jedes reelle $x$ ist die Potenz der Kehrwertbasis die Potenz mit dem entgegengesetzten Exponenten. In der Tat: Im Fall $a > 1$ ist die Basis $\frac{1}{a}$ kleiner als $1$, und nach Definition gilt $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$; im Fall $0 < a < 1$ ist die Basis $\frac{1}{a}$ größer als $1$, und die Definition von $a^{-x}$ lautet genau $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$.

Die Monotonie

Die erste Anwendung der Definition besteht darin, $a^x$ zwischen die rationalen Potenzen einzuordnen: Bei einer Basis größer als $1$ liefert jeder rationale Exponent kleiner als $x$ eine Potenz kleiner als $a^x$, und jeder größere rationale Exponent eine größere Potenz. Daraus folgt die Monotonie für beliebige reelle Exponenten.

Im Fall $a > 1$ lässt sich die Monotonie in beide Richtungen lesen: Für beliebige reelle $u$ und $v$ gilt $u < v$ genau dann, wenn $a^u < a^v$, und $u = v$ genau dann, wenn $a^u = a^v$. Wäre nämlich $u \geq v$, so hätte man $a^u \geq a^v$. Bei einer Basis zwischen $0$ und $1$ gilt die Äquivalenz mit umgekehrter Ungleichung. So vergleicht man Potenzen derselben Basis, indem man ihre Exponenten vergleicht.