지수함수와 실수 지수

실수 지수의 거듭제곱

유리수 지수의 거듭제곱 수업에서는 $a^x$을 정의하였고(단, $a > 0$이고 $x$는 유리수), 그 정의가 지수를 나타내는 분수에 의존하지 않는다는 것, 지수법칙이 성립한다는 것, 그리고 $a > 1$이면 거듭제곱이 지수와 함께 증가한다는 것, 곧 $r < s$가 유리수이면 $a^r < a^s$이라는 것을 증명하였다. 그러나 $2^{\sqrt{2}}$와 같은 식은 여전히 의미가 없다. $\sqrt{2}$는 분수가 아니며, 그것을 정의하는 거듭제곱근도 정수 거듭제곱도 없기 때문이다.

그런데 $\sqrt{2}$는 유리수 $1$, $\frac{7}{5}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1414}{1000}$보다 크고, 이 유리수들은 아래에서 그것에 가까워진다. 그리고 거듭제곱 $2^1$, $2^{\frac{7}{5}}$, $2^{\frac{141}{100}}$, $2^{\frac{1414}{1000}}$은 증가수열을 이루며, 그 값은 대략 2; 2.639; 2.657 및 2.665이다. 이들 중 어느 것도 $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$를 넘지 않는다. 이 지수들이 모두 $\frac{3}{2}$보다 작기 때문이다. 그렇다면 $2^{\sqrt{2}}$를, 거듭제곱 $2^r$(단, $r$은 유리수이고 $r \leq \sqrt{2}$) 중 어느 것에도 넘어서지 않는 가장 작은 수로서, 곧 상한으로서 정의하는 것이 자연스럽다. 그 존재는 실수의 완비성이 보장하며, 완비성은 수 집합 수업에서 소개되었다.

상한에 의한 정의

$a > 1$이라 하고 $x$를 실수라 하자. $A_x$를 거듭제곱 $a^r$(단, $r$은 유리수이고 $r \leq x$) 전체의 집합이라 하자. 실수 지수의 거듭제곱 $a^x$은 $A_x$의 상한이다. $0 < a < 1$이면 $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$으로 정의한다. 여기서 밑 $\frac{1}{a}$는 $1$보다 크다. 또한 $1^x = 1$로 정의한다. 여기서 $x$는 임의의 실수이다.

이 정의는 증명해야 할 두 주장을 담고 있다. 상한이 존재한다는 것, 그리고 $x$가 유리수이면 새로운 수 $a^x$이 이미 알려진 수와 같다는 것이다. 두 번째 주장이 없으면 기호 $a^x$은 유리수 지수에 대하여 두 가지 뜻을 가지게 된다.

$1$보다 작은 밑에 대한 정의도 원래의 정의를 연장한다. $0 < a < 1$이고 $r$이 유리수이면 유리수 지수의 법칙에 의해 $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$이기 때문이다. 또한 정의로부터 곧바로 자주 쓰일 규칙이 나온다. 임의의 밑 $a > 0$와 임의의 실수 $x$에 대하여, 역수인 밑의 거듭제곱은 반대 부호 지수의 거듭제곱이다. 실제로 $a > 1$이면 밑 $\frac{1}{a}$는 $1$보다 작고 정의에 의해 $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$이다. $0 < a < 1$이면 밑 $\frac{1}{a}$는 $1$보다 크고, $a^{-x}$의 정의는 바로 $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$이다.

단조성

정의의 첫 번째 쓰임은 $a^x$을 유리수 거듭제곱 사이에 위치시키는 것이다. 밑이 $1$보다 클 때, $x$보다 작은 모든 유리수 지수는 $a^x$보다 작은 거듭제곱을 주고, 그보다 큰 모든 유리수 지수는 더 큰 거듭제곱을 준다. 이로부터 임의의 실수 지수에 대한 단조성이 나온다.

$a > 1$이면 단조성은 양방향으로 읽힌다. 임의의 실수 $u$와 $v$에 대하여, $u < v$일 필요충분조건은 $a^u < a^v$이고, $u = v$일 필요충분조건은 $a^u = a^v$이다. 실제로 만약 $u \geq v$이면 $a^u \geq a^v$이 될 것이다. 밑이 $0$과 $1$ 사이에 있으면 부등호를 뒤집은 채 동치가 성립한다. 이렇게 하여 같은 밑의 거듭제곱은 지수를 비교함으로써 비교된다.