Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Fvnctio exponentialis et potentia exponentis realis

Svmmarivm

Haec lectio potentias basis positivae ad exponentes reales qvoslibet extendit, vt svpremvm potentiarvm exponentis rationalis, et demonstrat definitionem eam qvae iam nota erat continvare, potentiam in exponente stricte monotonam esse et leges exponentivm valere etiam nvnc. Deinde fvnctionem exponentialem tractat: dominivm eivs, copiam imaginvm, qvae ex completvdine et inaeqvalitate Bernovlliana efficitvr, monotoniam, asymptotvm horizontalem, comparationem basivm diversarvm, symmetriam inter bases aa et 1a\frac{1}{a} et transformationes delineationis eivs. Inaeqvalitate Bernovlliana ostendit exponentialem sine margine crescere et potentias tandem svperare, et problemata potentias irrationales sine machinvla calcvlatoria comparant, exponentialem per aeqvationem fvnctionalem eivs characterizant et intersectiones y=2xy = 2^x cvm parabola y=x2y = x^2 nvmerant.

Proposita discendi

  1. Potentiam exponentis realis basis positivae per completvdinem nvmerorvm realivm definire et ostendere eam potentiam exponentis rationalis continvare.
  2. Monotoniam potentiae ratione exponentis et leges ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y et (ax)y=axy\left(a^x\right)^y = a^{xy} argvmentis inclvsionis inter potentias rationales demonstrare.
  3. Fvnctionem exponentialem describere (dominivm, copiam imaginvm, monotoniam, asymptotvm, comparationem basivm), demonstrare eam omnes valores positivos assvmere et delineationes transformationvm eivs constrvere.
  4. Potentias exponentis irrationalis comparare, inaeqvalitates exponentiales simplices solvere et de incremento exponentialis cvm potentiis comparato ratiocinari.

Potentia exponentis realis

In lectione de potentiis exponentis rationalis definita est axa^x pro a>0a > 0 et xx rationali, demonstratvm est definitionem a fractione qva exponens scribitvr non pendere, leges exponentivm valere et, si a>1a > 1, potentiam cvm exponente crescere: si r<sr < s rationales svnt, ar<asa^r < a^s. Expressio avtem velvt 222^{\sqrt{2}} sine sensv manet, qvia 2\sqrt{2} fractio non est neqve vlla radix neqve potentia integra eam definit.

Atqvi 2\sqrt{2} svpra nvmeros rationales 11, 75\frac{7}{5}, 141100\frac{141}{100}, 14141000\frac{1414}{1000} iacet, qvi ei inferne appropinqvant, et potentiae 212^1, 2752^{\frac{7}{5}}, 21411002^{\frac{141}{100}}, 2141410002^{\frac{1414}{1000}} seqventiam crescentem efficivnt, cvivs valores svnt fere 2; 2,639; 2,657 et 2,665. Nvlla earvm 232=82^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8} svperat, qvia omnes illi exponentes minores svnt qvam 32\frac{3}{2}. Qvod si ita est, natvrale est 222^{\sqrt{2}} definire vt minimvm nvmervm qvi a nvlla potentia 2r2^r svperatvr, vbi rr rationalis est et r≤2r \leq \sqrt{2}, id est vt svpremvm; eivs exsistentiam praestat completvdo nvmerorvm realivm, in lectione de generibvs nvmerorvm exposita.

Definitio per svprema

Sit a>1a > 1 et sit xx nvmervs realis. Nomine AxA_x appellatvr copia potentiarvm ara^r cvm rr rationali et r≤xr \leq x. Potentia exponentis realis axa^x est svpremvm copiae AxA_x. Si 0<a<10 < a < 1, definitvr ax=(1a)−xa^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}, vbi basis 1a\frac{1}{a} maior est qvam 11; et definitvr 1x=11^x = 1 pro omni reali xx.
Ax={ar:r∈Q,r≤x}A_x = \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r \leq x\}

Definitio dvas affirmationes continet qvae demonstrandae svnt: svpremvm exsistere et, si xx rationalis est, novvm nvmervm axa^x evndem esse atqve evm qvi iam notvs erat. Sine altera, signvm axa^x dvas significationes pro exponentibvs rationalibvs haberet.

LemmaPotentia exponentis realis bene definita est

Sit a>1a > 1. Pro omni reali xx, copia AxA_x non vacva est et svpra circvmscripta, ita vt svpremvm habeat. Si xx rationalis est, illvd svpremvm est potentia exponentis rationalis axa^x.

Adhibentvr proprietas Archimedea, in lectione de expressione decimali nvmerorvm rationalivm demonstrata, et monotonia potentiarvm rationalivm. Figvra casvm a=2a = 2 et x=2x = \sqrt{2} seqvitvr: scala potentiarvm rationalivm ad 222^{\sqrt{2}} ascendit neqve evm attingit.

Demonstratio

  1. −k<x→a−k∈Ax-k < x \rightarrow \dato{nv}{a^{-k} \in A_x}

    Per proprietatem Archimedeam exsistit nvmervs natvralis kk maior qvam −x-x. Integer −k-k est nvmervs rationalis minor qvam xx, ita vt potentia eivs ad AxA_x pertineat, qvae non vacva est.

  2. r≤x<m→ar<amr \leq x < m \rightarrow \dato{cs}{\resaltar{a^r < a^m}}

    Eodem modo exsistit nvmervs natvralis mm maior qvam xx. Si rr rationalis est et r≤xr \leq x, tvm r<mr < m, et per monotoniam potentiarvm rationalivm ar<ama^r < a^m: nvmervs ama^m margo svperior copiae AxA_x est.

  3. (∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)(\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    Per completvdinem, copia non vacva et circvmscripta AxA_x svpremvm habet, qvod est nvmervs axa^x definitionis. Marginem svperiorem esse significat nvllam potentiam rationalem cvivs exponens minor est qvam xx vel ei aeqvalis evm svperare.

  4. x∈Q→ax∈Ax∧(∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)x \in \mathbb{Q} \rightarrow \resaltar{a^x \in A_x} \wedge (\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    Si xx rationalis est, potentia rationalis axa^x ad AxA_x pertinet, cvm r=xr = x, et per monotoniam margo svperior copiae AxA_x est. Elementvm copiae qvod eivsdem copiae margo svperior est eivs svpremvm est, qvia omnis nvmervs eo minor margo esse desinit. Ambae definitiones congrvvnt.

Definitio pro basibvs minoribvs qvam 11 etiam eam qvae iam nota erat continvat: si 0<a<10 < a < 1 et rr rationalis est, per leges exponentivm rationalivm (1a)−r=1(1a)r=ar\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r. Praeterea ex definitione statim seqvitvr regvla qva saepe vtemvr: pro omni basi a>0a > 0 et omni reali xx, potentia basis inversae est potentia exponentis oppositi. Etenim, si a>1a > 1, basis 1a\frac{1}{a} minor est qvam 11 et, per definitionem, (1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}; si 0<a<10 < a < 1, basis 1a\frac{1}{a} maior est qvam 11, et definitio ipsivs a−xa^{-x} est accvrate (1a)x\left(\frac{1}{a}\right)^{x}.

(1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}

Monotonia

Primvs definitionis vsvs est axa^x inter potentias rationales collocare: basi maiore qvam 11, omnis exponens rationalis minor qvam xx potentiam minorem qvam axa^x dat, et omnis exponens rationalis maior potentiam maiorem. Inde seqvitvr monotonia pro exponentibvs realibvs qvibvslibet.

TheoremaInclvsio inter potentias rationales et monotonia potentiae exponentis realis

Sit a>1a > 1 et sit xx realis. Si rr et ss rationales svnt et r<x<sr < x < s, tvm ar<ax<asa^r < a^x < a^s (inclvsio). Itaqve, si x<yx < y reales svnt, ax<aya^x < a^y cvm a>1a > 1 et ax>aya^x > a^y cvm 0<a<10 < a < 1 (monotonia). Praeterea ax>0a^x > 0 pro omni basi a>0a > 0 et omni reali xx.

Adhibetvr densitas nvmerorvm rationalivm, in lectione de recta reali demonstrata: inter dvos nvmeros reales diversos semper est nvmervs rationalis. Figvra ostendit, in delineatione y=2xy = 2^x, qvomodo nvmeri rationales ipsi xx vicini valorem 2x2^x inclvdant.

Demonstratio

  1. ar<au≤axa^r < \resaltar{a^u} \leq a^x

    Per densitatem est nvmervs rationalis uu cvm r<u<xr < u < x. Potentia eivs ad AxA_x pertinet, ita vt svpremvm non svperet; et per monotoniam potentiarvm rationalivm maior est qvam ara^r.

  2. ax≤aw<as,ar<ax<asa^x \leq \resaltar{a^w} < a^s, \quad \dato{enc}{a^r < a^x < a^s}

    Est etiam nvmervs rationalis ww cvm x<w<sx < w < s. Omnis potentia copiae AxA_x exponentem minorem qvam ww habet, ideoqve minor est qvam awa^w: hic nvmervs margo svperior copiae AxA_x est neqve svpremo minor est, qvod minimvs marginvm est.

  3. x<q<y→ax<aq<ayx < q < y \rightarrow a^x < \resaltar{a^q} < a^y

    Monotonia pro a>1a > 1. Si x<yx < y, per densitatem est nvmervs rationalis qq inter ambos, et inclvsio, semel ad xx et itervm ad yy adhibita, inaeqvalitatem dat.

  4. ax=(1a)−x>(1a)−y=aya^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-x}} > \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-y}} = a^y

    Si 0<a<10 < a < 1, basis 1a\frac{1}{a} maior est qvam 11 et exponentes oppositi condicionem −y<−x-y < -x implent. Per ea qvae svpra dicta svnt et per definitionem, inaeqvalitas invertitvr.

  5. r∈Q,r≤x→ax≥ar>0r \in \mathbb{Q}, \quad r \leq x \rightarrow a^x \geq \resaltar{a^r} > 0

    Positivitas. Si a>1a > 1, svpremvm nvllo elemento copiae AxA_x minvs est, et haec svnt potentiae rationales, positivae per lectionem de potentiis rationalibvs. Si 0<a<10 < a < 1, nvmervs axa^x est potentia basis 1a>1\frac{1}{a} > 1, et 1x=11^x = 1.

Si a>1a > 1, monotonia in vtrvmqve sensvm legi potest: pro realibvs uu et vv qvibvslibet, u<vu < v si et solvm si au<ava^u < a^v, et u=vu = v si et solvm si au=ava^u = a^v. Etenim, si esset u≥vu \geq v, haberetvr au≥ava^u \geq a^v. Basi inter 00 et 11 posita, aeqvivalentia cvm inaeqvalitate inversa valet. Sic potentiae eivsdem basis comparantvr exponentibvs earvm comparatis.

a>1→(u<v↔au<av),0<a<1→(u<v↔au>av)a > 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u < a^v), \qquad 0 < a < 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u > a^v)