La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel

La puissance à exposant réel

Dans la leçon sur les puissances à exposant rationnel, on a défini $a^x$ pour $a > 0$ et $x$ rationnel, on a démontré que la définition ne dépend pas de la fraction par laquelle on écrit l’exposant, que les règles de calcul sur les puissances sont valables et que, si $a > 1$, la puissance croît avec l’exposant : si $r < s$ sont rationnels, $a^r < a^s$. En revanche, une expression comme $2^{\sqrt{2}}$ reste dépourvue de sens, car $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction et aucune racine ni puissance entière ne la définit.

Or $\sqrt{2}$ est strictement supérieur aux rationnels $1$, $\frac{7}{5}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1414}{1000}$, qui s’en approchent par valeurs inférieures, et les puissances $2^1$, $2^{\frac{7}{5}}$, $2^{\frac{141}{100}}$, $2^{\frac{1414}{1000}}$ forment une suite croissante, dont les valeurs sont environ 2 ; 2,639 ; 2,657 et 2,665. Aucune d’elles ne dépasse $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$, car tous ces exposants sont strictement inférieurs à $\frac{3}{2}$. S’il en est ainsi, il est naturel de définir $2^{\sqrt{2}}$ comme le plus petit nombre qui n’est dépassé par aucune puissance $2^r$ avec $r$ rationnel et $r \leq \sqrt{2}$, c’est-à-dire comme une borne supérieure ; son existence est garantie par la complétude des réels, présentée dans la leçon sur les ensembles de nombres.

La définition par les bornes supérieures

Soit $a > 1$ et soit $x$ un nombre réel. On note $A_x$ l’ensemble des puissances $a^r$ avec $r$ rationnel et $r \leq x$. La puissance à exposant réel $a^x$ est la borne supérieure de $A_x$. Si $0 < a < 1$, on définit $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$, où la base $\frac{1}{a}$ est strictement supérieure à $1$ ; et on définit $1^x = 1$ pour tout réel $x$.

La définition renferme deux affirmations qu’il faut démontrer : que la borne supérieure existe et que, si $x$ est rationnel, le nouveau nombre $a^x$ est celui que l’on connaissait déjà. Sans la seconde, le symbole $a^x$ aurait deux significations pour les exposants rationnels.

La définition pour les bases strictement inférieures à $1$ prolonge, elle aussi, celle que l’on connaissait : si $0 < a < 1$ et $r$ est rationnel, d’après les règles de calcul sur les puissances à exposant rationnel $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$. De plus, la définition fournit directement une règle qui servira souvent : pour toute base $a > 0$ et tout réel $x$, la puissance de la base inverse est la puissance d’exposant opposé. En effet, si $a > 1$, la base $\frac{1}{a}$ est strictement inférieure à $1$ et, par définition, $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ ; si $0 < a < 1$, la base $\frac{1}{a}$ est strictement supérieure à $1$, et la définition de $a^{-x}$ est précisément $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$.

La monotonie

Le premier usage de la définition consiste à situer $a^x$ parmi les puissances rationnelles : avec une base strictement supérieure à $1$, tout exposant rationnel strictement inférieur à $x$ donne une puissance strictement inférieure à $a^x$, et tout exposant rationnel strictement supérieur, une puissance strictement supérieure. On en déduit la monotonie pour des exposants réels quelconques.

Si $a > 1$, la monotonie se lit dans les deux sens : pour des réels $u$ et $v$ quelconques, $u < v$ si et seulement si $a^u < a^v$, et $u = v$ si et seulement si $a^u = a^v$. En effet, si l’on avait $u \geq v$, on aurait $a^u \geq a^v$. Avec une base comprise entre $0$ et $1$, l’équivalence vaut avec l’inégalité inversée. On compare ainsi des puissances de même base en comparant leurs exposants.