Le nombre e et la fonction exponentielle

Démonstration

1. 1
   $$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{\resaltar{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}}{k! \, n^k} = \resaltar{\frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n}}$$

   D’après la formule du binôme, avec $x = 1$ et $y = \frac{1}{n}$, le terme d’indice $k$ de $a_n$ est $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$. Le coefficient binomial est un produit de $k$ facteurs divisé par $k!$, et chaque facteur est divisé par l’un des $k$ facteurs $n$ du dénominateur.

2. 2
   $$a_n = \dato{an}{\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)}$$

   Le premier quotient vaut $1$, et chacun des quotients qui viennent ensuite est $\frac{n - j}{n} = 1 - \frac{j}{n}$, pour $j$ allant de $1$ à $k - 1$. En sommant les termes, nous obtenons l’écriture de $a_n$.

3. 3
   $$a_{n + 1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right) + \resaltar{\frac{1}{(n + 1)!} \prod_{j=1}^{n} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}$$

   La même écriture, avec $n + 1$ à la place de $n$, a un terme de plus, celui d’indice $k = n + 1$, qui est strictement positif car tous ses facteurs le sont.

4. 4
   $$\dato{f}{0 < 1 - \resaltar{\frac{j}{n}} < 1 - \resaltar{\frac{j}{n + 1}}}$$

   Pour $1 \leq j \leq n - 1$, quand le dénominateur augmente, $\frac{j}{n}$ diminue, et le facteur augmente ; de plus, tous les facteurs sont strictement positifs.

5. 5
   $$\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} < \frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}$$

   Par la monotonie du produit de nombres strictement positifs, chaque terme de $a_n$ d’indice $k \geq 2$, s’il y en a, est strictement inférieur au terme de même indice de $a_{n + 1}$ ; ceux d’indices $0$ et $1$ valent $1$ dans les deux sommes.

6. 6
   $$a_1 = 2 < a_2 = \frac{9}{4} < a_3 = \frac{64}{27} < a_4 = \frac{625}{256}$$

   En sommant, $a_n$ ne dépasse pas la somme des $n + 1$ premiers termes de $a_{n + 1}$, à laquelle il manque encore le terme strictement positif d’indice $n + 1$. Par conséquent, $a_n < a_{n + 1}$. Sur la figure, les termes de la suite montent.

Démonstration

1. 1
   $$\frac{b_n}{b_{n + 1}} = \frac{\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{n + 1}}{\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 2}} = \dato{c}{\left( \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}}$$

   Nous écrivons chaque base comme un quotient, nous isolons un facteur $\frac{n + 1}{n + 2}$ de la puissance du dénominateur et nous réunissons les deux puissances d’exposant $n + 1$ en une seule.

2. 2
   $$\frac{\resaltar{(n + 1)^2}}{n(n + 2)} = \frac{\resaltar{n(n + 2) + 1}}{n(n + 2)} = \dato{q}{1 + \frac{1}{n(n + 2)}}$$

   Le numérateur de la base dépasse le dénominateur de $1$, car $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 = n(n + 2) + 1$.

3. 3
   $$\dato{B}{\left( 1 + \frac{1}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \geq 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)}}$$

   D’après l’inégalité de Bernoulli, avec $x = \frac{1}{n(n + 2)}$ et l’exposant $n + 1$, la puissance de cette base vaut au moins $1 + (n + 1)x$.

4. 4
   $$\frac{b_n}{b_{n + 1}} \geq \resaltar{\left( 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)} \right)} \frac{n + 1}{n + 2} = \resaltar{\frac{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}{n(n + 2)^2}}$$

   Nous substituons dans le quotient et nous réduisons au même dénominateur ; la somme $n(n + 2) + (n + 1)$ vaut $n^2 + 3n + 1$.

5. 5
   $$\frac{\resaltar{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}}{\resaltar{n(n + 2)^2}} = \frac{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n + 1}}{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n}} > 1$$

   Nous développons le numérateur et le dénominateur : le numérateur dépasse le dénominateur de $1$.

6. 6
   $$b_1 = 4 > b_2 = \frac{27}{8} > b_3 = \frac{256}{81} > b_4 = \frac{3125}{1024}$$

   Par conséquent, $b_n > b_{n + 1}$. Sur la figure, les termes $b_n$ descendent tandis que les termes $a_n$ montent, et chaque $b_n$ reste au-dessus de chaque $a_n$.

Démonstration

1. 1
   $$\dato{ab}{a_n < b_m}, \quad n, m \in \mathbb{N}$$

   D’après le lemme ci-dessus, tout terme de la première suite est strictement inférieur à tout terme de la seconde.

2. 2
   $$\dato{eb}{(\forall m \in \mathbb{N})(e \leq b_m)}$$

   Chaque $b_m$ est donc un majorant de l’ensemble des $a_n$, et la borne supérieure, qui est le plus petit des majorants, n’en dépasse aucun.

3. 3
   $$\dato{ae}{a_n < \resaltar{a_{n + 1}} \leq \resaltar{e}}$$

   Comme $e$ est un majorant et que la suite $a_n$ est strictement croissante, chaque terme est strictement inférieur au terme qui vient après lui, lequel ne dépasse pas $e$.

4. 4
   $$\dato{be}{e \leq \resaltar{b_{n + 1}} < \resaltar{b_n}}$$

   De même, comme la suite $b_n$ est strictement décroissante, $e$ ne dépasse pas le terme qui vient après, lequel est strictement inférieur à $b_n$.

5. 5
   $$a_n < e < b_n$$

   En enchaînant les deux inégalités, nous obtenons le théorème : $e$ est le seul nombre qui reste entre tous les $a_n$ et tous les $b_n$.

6. 6
   $$a_{74} < e < b_{17}$$

   À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons que $a_{74}$ dépasse 2,7 et que $b_{17}$ est strictement inférieur à 2,8 ; par conséquent, $e$ est compris entre 2,7 et 2,8. L’encadrement est lent : la distance entre les deux suites est $b_n - a_n = \frac{a_n}{n}$, qui diminue comme l’inverse de $n$.