수 e와 자연지수함수

요약

이 수업은 수 $e$ 를 수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 의 상한으로 구성한다. 이 수열은 복리에서 생겨난다. 먼저 이항정리로 이 수열이 증가하며 값 $3$ 에 이르지 못함을 증명하고, 그 상한을 이 수열과 감소수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 사이에 가둔다. 이어서 $e$ 가 계승의 역수의 합의 상한이기도 함을 증명하고, 그 합들의 오차의 한계를 구한다. 이로써 $e$ 를 원하는 정밀도로 계산할 수 있다. 또한 $e$ 가 무리수임을 증명한다. 끝으로 자연지수함수를 정의하고, 이를 이자의 연속 복리와 연결하며, 부등식 $e^x \geq 1 + x$ 을 증명한다. 이 부등식은 직선 $y = 1 + x$ 가 지수함수의 그래프 아래에 놓인다는 것을 말한다.

학습 목표

수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 이 증가하고 유계임을 증명하고, 수 $e$ 를 그 상한으로 정의한다.
계승의 역수의 합으로 $e$ 의 근삿값을 엄밀한 오차 한계와 함께 계산하고, $e$ 가 무리수임을 증명한다.
자연지수함수를 복리 및 그 연속 복리와 연결하고, 서로 다른 빈도로 복리 계산하는 효과를 비교한다.
부등식 $e^x \geq 1 + x$ 을 증명하고 응용하며, 이를 직선 $y = 1 + x$ 의, $y = e^x$ 의 그래프에 대한 위치로 해석한다.

복리의 수열

원금 $1$ 을 연이율 백 퍼센트로 일 년 동안 예금한다. 이자가 연말에 한 번만 지급되면 원금은 두 배가 되어 $2$ 가 된다. 반년마다 이율의 절반씩 두 번 지급되면, 상반기의 이자가 하반기에 다시 이자를 낳는다. 원금에 $1 + \frac{1}{2}$ 가 두 번 곱해져 $\frac{9}{4}$ 가 된다. 분기마다 네 번 지급되면 $\left( 1 + \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{625}{256}$ 가 되어 2.44를 조금 넘고, 매달 열두 번 지급되면 2.61을 조금 넘는다. 일반적으로 일 년을 $n$ 개의 같은 기간으로 나누고 각 기간에 이율의 $\frac{1}{n}$ 만큼을 지급하면, 원금에 $n$ 번 거듭하여 $1 + \frac{1}{n}$ 이 곱해지고, 연말의 값은

a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

$n$ 이 커지면 곱하는 횟수는 늘어나지만, 곱하는 인수는 $1$ 에 더 가까워진다. 두 효과 중 어느 쪽이 우세한지는 분명하지 않다. $1$ 의 거듭제곱은 모두 $1$ 이지만, $1$ 보다 큰 고정된 밑의 거듭제곱은 한없이 커진다. 이 절에서는 이 수열이 증가하지만 그 항들이 값 $3$ 에 이르지 못함을 증명한다. 그 상한이 수 $e$ 이다. 증명의 근거는 조합론과 이항정리 수업의 이항정리, 베르누이 부등식 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ( $x \geq -1$ 일 때)로서 페아노 공리 수업에서 증명한 것, 그리고 수 집합 수업에서 서술한 실수의 완비성이다.

수열의 증가

이항정리에 의해 $a_n$ 은 $n + 1$ 개의 항의 합이다. 첨자가 $k$ 인 항은 $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$ 이며, $\frac{1}{k!}$ 와 $k - 1$ 개의 양의 인수( $1$ 보다 작은 것)의 곱으로 쓸 수 있다. 인수가 없는 곱은 $1$ 로 한다는 약속 아래, 이 표기는 $k = 0$ 와 $k = 1$ 에 대해서도 성립한다.

a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right) = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) + \cdots

이 표기에서 $n$ 은 인수 $1 - \frac{j}{n}$ ( $n$ 과 함께 커지는 것)와 항의 개수(이것도 커진다)에만 나타난다. 두 효과는 같은 방향으로 작용한다. 이것이 아래 정리의 착상이다.

정리수열의 증가

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n < a_{n + 1}$ 가 성립한다. 즉 수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 은 엄격하게 증가한다.

$a_n$ 과 $a_{n + 1}$ 의 이항 전개를 항별로 비교한다. 그림은 $n = 3$ 인 경우에 각 항을 $2$ 에서 시작하는 열 속의 블록으로 나타낸다. 처음 두 항은 어느 경우에나 $1$ 이기 때문이다.

증명

$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{\resaltar{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}}{k! \, n^k} = \resaltar{\frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n}}$
이항정리에 의해 $x = 1$ , $y = \frac{1}{n}$ 로 놓으면, 첨자가 $k$ 인 항( $a_n$ 의)은 $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$ 이다. 이항계수는 $k$ 개의 인수의 곱을 $k!$ 로 나눈 것이며, 각 인수는 분모의 $k$ 개의 인수 $n$ 중 하나로 나뉜다.
$a_n = \dato{an}{\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)}$
첫 번째 몫은 $1$ 이고, 그 뒤의 각 몫은 $\frac{n - j}{n} = 1 - \frac{j}{n}$ 이다( $j$ 는 $1$ 부터 $k - 1$ 까지). 항들을 더하면 $a_n$ 의 표기가 얻어진다.
$a_{n + 1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right) + \resaltar{\frac{1}{(n + 1)!} \prod_{j=1}^{n} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}$
같은 표기에서 $n + 1$ 을 $n$ 대신 쓰면 항이 하나 더 생긴다. 첨자가 $k = n + 1$ 인 항이며, 그 인수가 모두 양수이므로 양수이다.
$\dato{f}{0 < 1 - \resaltar{\frac{j}{n}} < 1 - \resaltar{\frac{j}{n + 1}}}$
$1 \leq j \leq n - 1$ 일 때, 분모가 커지면 $\frac{j}{n}$ 은 작아지고 인수는 커진다. 또한 인수는 모두 양수이다.
$\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} < \frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}$
양수의 곱의 단조성에 의해, $a_n$ 의 첨자 $k \geq 2$ 인 각 항은, 있다면, $a_{n + 1}$ 의 같은 첨자의 항보다 작다. 첨자 $0$ 과 $1$ 의 항은 두 합에서 모두 $1$ 이다.
$a_1 = 2 < a_2 = \frac{9}{4} < a_3 = \frac{64}{27} < a_4 = \frac{625}{256}$
더하면 $a_n$ 은 처음 $n + 1$ 개의 항( $a_{n + 1}$ 의)의 합을 넘지 않는다. 이 합에는 아직 첨자 $n + 1$ 의 양의 항이 빠져 있다. 따라서 $a_n < a_{n + 1}$ 이다. 그림에서 수열의 항들은 올라간다.

하나의 상계

증가하는 것만으로는 수열이 상한을 갖기에 충분하지 않다. 자연수도 증가하기 때문이다. 상계가 필요하며, 이를 얻기 위해 $a_n$ 을 아래의 계승의 역수의 합과 비교한다.

s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n!}

이것은 $a_n$ 의 표기에서 모든 인수 $1 - \frac{j}{n}$ 을 지운 결과이다. 이 합들은 그 자체로 흥미로우며, 뒤 절에서는 이 합들이 $a_n$ 과 같은 수에, 그것도 훨씬 빠르게 가까워짐을 증명한다. 조합론 수업의 연습 문제 5는 $a_n < 3$ 를 증명하라고 요구했다. 아래의 두 보조정리 중 둘째가 이 상계를 담고 있으며, 뒤에서 쓸 중간 부등식 $a_n \leq s_n$ 도 준다. 첫째는 계승을 $2$ 의 거듭제곱과 비교하며, 이로써 $s_n$ 을 등비수열로 위에서 누를 수 있다.

보조정리계승과 2의 거듭제곱

모든 자연수 $k$ 에 대하여 $k! \geq 2^{k - 1}$ 가 성립하며, 등호는 $k = 1$ 또는 $k = 2$ 일 때에만 성립한다.

$k$ 에 대한 귀납법으로 논증한다. 쓰는 것은 페아노 공리 수업의 원리이다. $k$ 에서 $k + 1$ 로 넘어갈 때 계승에는 $k + 1$ 이 곱해지고, 이것은 적어도 $2$ 이지만, 거듭제곱은 두 배가 될 뿐이다. 그림은 $k$ 가 $1$ 부터 $4$ 까지일 때 계승과 거듭제곱을 두 열로 비교한다.

증명

$1! = 1 = 2^{0}$
기초 단계: $k = 1$ 일 때 양변은 모두 $1$ 이다.
$\dato{h}{k! \geq 2^{k - 1}}$
귀납 가정: 어떤 자연수 $k$ 에 대하여 부등식이 성립한다고 가정하자.
$(k + 1)! = \resaltar{(k + 1)} \cdot k! \geq \resaltar{2} \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}$
$k + 1$ 의 계승은 $k$ 의 계승에 $k + 1$ 을 곱한 것이고, 이것은 적어도 $2$ 이다. 인수가 모두 양수이므로, 귀납 가정에 의해 $k + 1$ 에 대한 부등식이 얻어진다.
$k! \geq 2^{k - 1}, \qquad 3! = 6 > 4 = 2^2$
귀납법의 원리에 의해 부등식은 모든 자연수 $k$ 에 대하여 성립한다. $k \geq 2$ 이면 인수 $k + 1$ 은 적어도 $3$ 이고, $k + 1$ 에 대한 부등식은 엄격한 부등식이 된다. 등호가 성립하는 것은 $k = 1$ 과 $k = 2$ 일 때이며, 그때뿐이다.

보조정리수열의 상계

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \leq s_n < 3$ 가 성립한다. $n \geq 2$ 일 때 첫째 부등식은 엄격한 부등식이다.

$a_n$ 의 전개의 각 항을 $s_n$ 의 대응하는 항으로 위로 어림하고, $s_n$ 의 각 항을 공비가 $\frac{1}{2}$ 인 등비수열의 항으로 누른다. 그림은 $n = 4$ 인 경우에 공통의 밑선 $2$ 위의 세 열을 비교한다.

증명

$\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} \leq \frac{1}{k!} \cdot \resaltar{1}$
각 인수 $1 - \frac{j}{n}$ 은 $0$ 과 $1$ 사이에 있다. 따라서 그것들의 곱은 $1$ 을 넘지 않고, $a_n$ 의 각 항은 항 $\frac{1}{k!}$ ( $s_n$ 의)을 넘지 않는다.
$\dato{as}{a_n \leq s_n}$
$k$ 에 대하여 $0$ 부터 $n$ 까지 더하면 첫째 부등식이 얻어진다. $n \geq 2$ 이면 첨자 $2$ 의 항은 인수 $1 - \frac{1}{n} < 1$ 을 가지며, 부등식은 엄격한 부등식이 된다.
$\dato{f}{\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}}, \quad k \geq 1$
위의 보조정리에 의해 $k! \geq 2^{k - 1}$ 이 모든 자연수 $k$ 에 대하여 성립한다. 두 양수의 역수를 취하면 부등식의 방향이 바뀐다.
$s_n = 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}} \leq 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}}$
첨자 $0$ 의 항을 떼어 내고 나머지 항들을 위에서 누른다.
$1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}} = 1 + \resaltar{2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)} = 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3$
강조한 부분은 등비수열의 $n$ 개의 항의 합(첫째항 $1$ , 공비 $\frac{1}{2}$ )이며, 합과 수열 수업에서 계산하였다.
$a_n \leq s_n \leq 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3$
두 부등식을 합치면 보조정리가 얻어진다. 그림에서 $n = 4$ 인 경우, 등비수열의 열은 앞으로 $\frac{1}{8}$ 만큼 더 가야 $3$ 에 닿는 곳에 있고, 나머지 두 열은 그 아래에 있다.

그것에 동반하는 감소수열

밑 $1 + \frac{1}{n}$ 을 하나 더 큰 지수로 거듭제곱하면 둘째 수열이 얻어진다. 그 항들은 첫째 수열의 항보다 크다. $1$ 보다 큰 인수가 곱해지기 때문이다.

b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} = a_n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) > a_n

그 처음 항들은 $b_1 = 4$ , $b_2 = \frac{27}{8}$ , $b_3 = \frac{256}{81}$ 이며, 내려간다. 아래의 정리가 이를 일반적으로 증명한다. 착상은 이웃한 두 항의 몫을 살피는 것이고, 도구는 베르누이 부등식이다.

정리동반 수열의 감소

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $b_n > b_{n + 1}$ 가 성립한다. 즉 수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 은 엄격하게 감소한다.

항들이 양수이므로, 몫 $\frac{b_n}{b_{n + 1}}$ 이 $1$ 보다 큼을 보이면 충분하다. 그림은 두 수열의 처음 항들을 보여 준다.

증명

$\frac{b_n}{b_{n + 1}} = \frac{\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{n + 1}}{\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 2}} = \dato{c}{\left( \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}}$
각 밑을 몫으로 쓰고, 분모의 거듭제곱에서 인수 $\frac{n + 1}{n + 2}$ 를 떼어 내고, 지수가 $n + 1$ 인 두 거듭제곱을 하나로 합친다.
$\frac{\resaltar{(n + 1)^2}}{n(n + 2)} = \frac{\resaltar{n(n + 2) + 1}}{n(n + 2)} = \dato{q}{1 + \frac{1}{n(n + 2)}}$
밑의 분자는 분모보다 $1$ 만큼 크다. $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 = n(n + 2) + 1$ 이기 때문이다.
$\dato{B}{\left( 1 + \frac{1}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \geq 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)}}$
베르누이 부등식에 의해, $x = \frac{1}{n(n + 2)}$ , 지수 $n + 1$ 로 놓으면, 그 밑의 거듭제곱은 적어도 $1 + (n + 1)x$ 이다.
$\frac{b_n}{b_{n + 1}} \geq \resaltar{\left( 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)} \right)} \frac{n + 1}{n + 2} = \resaltar{\frac{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}{n(n + 2)^2}}$
몫에 대입하고 통분한다. 합 $n(n + 2) + (n + 1)$ 은 $n^2 + 3n + 1$ 이다.
$\frac{\resaltar{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}}{\resaltar{n(n + 2)^2}} = \frac{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n + 1}}{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n}} > 1$
분자와 분모를 전개한다. 분자는 분모보다 $1$ 만큼 크다.
$b_1 = 4 > b_2 = \frac{27}{8} > b_3 = \frac{256}{81} > b_4 = \frac{3125}{1024}$
따라서 $b_n > b_{n + 1}$ 이다. 그림에서 $b_n$ 의 항들은 내려가고 $a_n$ 의 항들은 올라가며, 모든 $b_n$ 은 모든 $a_n$ 보다 위에 있다.

수 e

두 수열은 서로 가까워지지만 교차하지 않는다. 첨자가 서로 달라도, 첫째 수열의 어떤 항도 둘째 수열의 어떤 항보다 작다.

보조정리두 수열은 교차하지 않는다

모든 자연수 $n$ 과 $m$ 에 대하여 $a_n < b_m$ 이 성립한다.

두 첨자 중 큰 쪽을 거쳐 간다. 첫째 수열은 증가하고 둘째 수열은 감소하며, 각 첨자에서 둘째 수열은 첫째 수열보다 위에 있다. 그림은 $n = 2$ , $m = 5$ 인 경우를 따라간다.

증명

$\dato{p}{b_p = a_p \left( 1 + \frac{1}{p} \right) > a_p}$
같은 첨자 $p$ 에서 항 $b_p$ 는 $a_p$ 에 $1 + \frac{1}{p}$ 를 곱한 것이다. 이 인수는 $1$ 보다 크고, $a_p$ 는 양수이다.
$\dato{a}{n \leq p \rightarrow a_n \leq a_p}$
$p$ 를 자연수 $n$ 과 $m$ 중 큰 쪽이라 하자. $n \leq p$ 이고 수열 $a_n$ 은 증가하므로, 그 첨자 $n$ 의 항은 첨자 $p$ 의 항을 넘지 않는다.
$\dato{b}{m \leq p \rightarrow b_p \leq b_m}$
$m \leq p$ 이고 수열 $b_n$ 은 감소하므로, 그 첨자 $p$ 의 항은 첨자 $m$ 의 항을 넘지 않는다.
$a_n \leq a_p < b_p \leq b_m$
세 부등식을, 가운데 것은 엄격한 부등식으로 하여 합치면 보조정리가 얻어진다. 그림에서 $n = 2$ , $m = 5$ 일 때 큰 쪽의 첨자는 $p = 5$ 이다.

이로부터 항 $a_n$ 의 집합은 원소를 가지며, $3$ 에 의해, 또는 임의의 $b_m$ 에 의해 위로 유계이다. 실수의 완비성에 의해 이 집합은 상한을 가지며, 이를 문자 $e$ 로 나타낸다.

정의. 수 $e$ 는 수열 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 의 항( $n$ 은 자연수) 전체의 집합의 상한이다.

정리두 수열 사이의 수 e

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n < e < b_n$ 가 성립한다.

최소의 상계로서의 상한의 정의와 두 수열의 단조성을 쓴다. 그림은 반대쪽에서 $e$ 에 가까워지는 두 수열을 보여 준다.

증명

$\dato{ab}{a_n < b_m}, \quad n, m \in \mathbb{N}$
위의 보조정리에 의해, 첫째 수열의 어떤 항도 둘째 수열의 어떤 항보다 작다.
$\dato{eb}{(\forall m \in \mathbb{N})(e \leq b_m)}$
따라서 각 $b_m$ 은 $a_n$ 전체의 집합의 상계이며, 상한은 최소의 상계이므로 그 어느 것도 넘지 않는다.
$\dato{ae}{a_n < \resaltar{a_{n + 1}} \leq \resaltar{e}}$
$e$ 는 상계이고 수열 $a_n$ 은 엄격하게 증가하므로, 각 항은 그 뒤의 항보다 작고, 그 뒤의 항은 $e$ 를 넘지 않는다.
$\dato{be}{e \leq \resaltar{b_{n + 1}} < \resaltar{b_n}}$
마찬가지로 수열 $b_n$ 은 엄격하게 감소하므로, $e$ 는 그 뒤의 항을 넘지 않고, 그 뒤의 항은 $b_n$ 보다 작다.
$a_n < e < b_n$
두 부등식을 합치면 정리가 얻어진다. $e$ 는 모든 $a_n$ 과 모든 $b_n$ 사이에 놓이는 유일한 수이다.
$a_{74} < e < b_{17}$
계산기를 쓰면 $a_{74}$ 는 2.7을 넘고 $b_{17}$ 은 2.8보다 작음을 알 수 있다. 따라서 $e$ 는 2.7과 2.8 사이에 있다. 이 가두기는 느리다. 두 수열의 차는 $b_n - a_n = \frac{a_n}{n}$ 이며, $n$ 의 역수처럼 줄어든다.

수 $e$ 는 약 2.718281828이다. 야코프 베르누이는 1683년에 복리를 연구하다가 이 수를 발견했고, 그 성질의 상당 부분을 발견한 레온하르트 오일러가 이를 문자 $e$ 로 나타냈다. $\pi$ 와 더불어 해석학의 두 기본 상수 중 하나이다.