La fonction logarithme et ses propriétés

Le logarithme comme réciproque d’une fonction exponentielle

Dans la leçon sur la fonction exponentielle et les puissances à exposant réel, on a démontré que, si $a > 0$ et $a \neq 1$, la fonction qui à chaque réel $x$ associe la puissance $a^x$ est strictement croissante si $a > 1$ et strictement décroissante si $0 < a < 1$ ; et, par le théorème de l’ensemble image des fonctions exponentielles, démontré dans cette leçon grâce à la complétude des réels et à l’inégalité de Bernoulli, elle prend en outre chaque valeur strictement positive exactement une fois, et elle est donc une bijection de $\mathbb{R}$ sur l’intervalle $\ioo{0}{\infty}$. Par le théorème de la réciproque d’une fonction strictement monotone, démontré dans la leçon sur les opérations sur les fonctions, cette fonction admet une réciproque. S’il en est ainsi, pour chaque nombre strictement positif $x$ il existe un unique exposant $y$ tel que $a^y = x$, et la définition ci-dessous a un sens.

Soient $a > 0$, avec $a \neq 1$, et $x > 0$. Le logarithme de base $a$ de $x$, que l’on note $\log_a x$, est l’unique nombre réel $y$ tel que $a^y = x$. La fonction $\log_a$, définie sur $\ioo{0}{\infty}$ et à valeurs réelles, est la réciproque de l’exponentielle de base $a$.

Le logarithme répond donc à la question de l’exposant : $\log_a x$ est le nombre auquel il faut élever $a$ pour obtenir $x$. Ainsi, comme $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ et, d’après la leçon sur les puissances à exposant rationnel et les radicaux, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, on a :

Comme $\log_a$ et l’exponentielle de base $a$ sont réciproques l’une de l’autre, chacune défait ce que fait l’autre : la première identité vaut pour tout $x$ strictement positif, et la seconde pour tout $y$ réel.

En particulier, de $a^0 = 1$ et $a^1 = a$ découlent $\log_a 1 = 0$ et $\log_a a = 1$ pour toute base. Ni zéro ni les nombres strictement négatifs n’ont de logarithme, car toute puissance de base strictement positive est strictement positive : il n’existe aucun $y$ tel que $2^y = -4$. Deux bases ont un nom propre. La base $e$, le nombre étudié dans la leçon sur le nombre e et la fonction exponentielle, donne le logarithme népérien, que l’on note $\ln x$ ; la base $10$ donne le logarithme décimal, que l’on note $\log_{10} x$. Dans beaucoup de textes et de calculatrices, on écrit $\log x$ sans base, tantôt pour le népérien, tantôt pour le décimal ; dans ce cours, la base est toujours écrite.

Les logarithmes furent publiés par John Napier en 1614, et Henry Briggs calcula peu d’années après les premières tables de logarithmes décimaux. Pendant plus de trois siècles, ils servirent à abréger les calculs de l’astronomie, de la navigation et de l’ingénierie, car, comme on le démontre plus loin, ils transforment les produits en sommes. La courbe du logarithme s’obtient à partir de celle de l’exponentielle de même base par le théorème de la courbe de la fonction réciproque, de la même leçon sur la fonction réciproque : la courbe d’une fonction bijective et celle de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.