对数函数及其性质

作为指数函数反函数的对数

在关于指数函数与实数指数幂的课中已经证明：若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，则对每个实数 $x$ 指定幂 $a^x$ 的函数，当 $a > 1$ 时严格递增，当 $0 < a < 1$ 时严格递减；并且由指数函数的值域定理（在那里借助实数的完备性和伯努利不等式证明），它还恰好取每个正值一次，因而是从 $\mathbb{R}$ 到区间 $\ioo{0}{\infty}$ 的双射。由严格单调函数的反函数定理（在关于函数的运算与反函数的课中证明），这个函数有反函数。若如此，则对每个正数 $x$，存在唯一的指数 $y$，使得 $a^y = x$，于是下面的定义是有意义的。

设 $a > 0$，且 $a \neq 1$，又设 $x > 0$。以 $a$ 为底的对数在 $x$ 处的值，记作 $\log_a x$，是唯一的实数 $y$，使得 $a^y = x$。函数 $\log_a$ 定义在 $\ioo{0}{\infty}$ 上、取实数值，它是以 $a$ 为底的指数函数的反函数。

因此，对数回答的是关于指数的问题：$\log_a x$ 是这样一个数，把 $a$ 乘方到这个数次就得到 $x$。于是，由于 $2^3 = 8$、$3^{-2} = \frac{1}{9}$、$10^3 = 1000$，并且根据关于有理数指数幂与根式的课，$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$，所以有：

由于 $\log_a$ 与以 $a$ 为底的指数函数互为反函数，每一个都抵消另一个的作用：第一个恒等式对任意正数 $x$ 成立，第二个对任意实数 $y$ 成立。

特别地，由 $a^0 = 1$ 和 $a^1 = a$ 得出，对任意底都有 $\log_a 1 = 0$ 和 $\log_a a = 1$。零和负数都没有对数，因为底为正的幂都是正的：不存在任何 $y$ 使得 $2^y = -4$。有两个底有专门的名称。底 $e$，即在关于数 e 与自然指数函数的课中研究过的数，给出自然对数，记作 $\ln x$；底 $10$ 给出常用对数，记作 $\log_{10} x$。在许多书和计算器中写作 $\log x$ 而不写底，有时指自然对数，有时指常用对数；在本课程中底总是写出来。

对数由约翰·纳皮尔于 1614 年发表，几年后亨利·布里格斯算出了最早的常用对数表。三个多世纪里，它们被用来简化天文学、航海和工程中的计算，因为正如后一节所证明的，它们把乘积变为和。它们的图像可由指数函数的图像根据反函数的图像定理得到，这一定理同样出自关于反函数的那一课：双射函数的图像与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。