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Topos Uranos
Français

Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques

Résumé

Cette leçon enseigne à résoudre des équations et des inéquations dans lesquelles l’inconnue apparaît dans un exposant ou dans l’argument d’un logarithme. Elle s’appuie sur deux propriétés des fonctions exponentielles et logarithmes : leur injectivité, qui permet d’égaler exposants et arguments, et leur monotonie, qui conserve ou renverse le sens d’une inégalité selon la base. Avec elles on étudie la réduction à une même base, le passage aux logarithmes, le changement de variable qui transforme une équation en équation du second degré, l’ensemble de définition des équations logarithmiques et les solutions parasites qui apparaissent lorsqu’on applique les règles de calcul des logarithmes hors de leur ensemble de définition, les systèmes, les équations qu’aucune méthode algébrique ne résout, dont l’unique solution se localise par dichotomie, et la discussion du nombre de solutions d’une équation à paramètre.

Objectifs d’apprentissage

  1. Résoudre des équations exponentielles en se ramenant à une même base, en passant aux logarithmes ou par un changement de variable qui les transforme en équations du second degré, en écartant les valeurs négatives ou nulles de la nouvelle variable.
  2. Résoudre des équations logarithmiques en déterminant d’abord leur ensemble de définition, en n’appliquant les règles de calcul des logarithmes que là où elles sont valables et en reconnaissant les solutions parasites.
  3. Résoudre des inéquations exponentielles et logarithmiques, en conservant ou en renversant l’inégalité selon la base, et exprimer l’ensemble des solutions comme réunion d’intervalles.
  4. Démontrer, à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, qu’une équation sans méthode algébrique a une unique solution, la localiser par dichotomie et discuter le nombre de solutions d’une équation à paramètre.

Équations exponentielles

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue figure dans un exposant, comme 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} ou 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Pour les résoudre, on utilise les faits étudiés dans les leçons sur la fonction exponentielle et les puissances à exposant réel et sur la fonction logarithme. Si a>0a > 0 et a≠1a \neq 1, la puissance axa^x est définie pour tout réel xx et est toujours strictement positive ; elle est strictement croissante si a>1a > 1 et strictement décroissante si 0<a<10 < a < 1, et elle prend chaque valeur strictement positive exactement une fois. Sa réciproque est le logarithme de base aa, défini sur les réels strictement positifs, qui vérifie les règles du produit, du quotient et de la puissance, pourvu que les arguments soient strictement positifs, ainsi que la formule du changement de base.

ThéorèmeInjectivité des fonctions exponentielles et logarithmes

Soit aa un réel strictement positif différent de 11. Pour tous réels uu et vv, on a au=ava^u = a^v si et seulement si u=vu = v ; pour tous réels strictement positifs uu et vv, on a log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v si et seulement si u=vu = v. De plus, si c>0c > 0, l’équation ax=ca^x = c a exactement une solution, à savoir x=log⁡acx = \log_a c, et si c≤0c \leq 0 elle n’en a aucune.

On utilise la stricte monotonie des fonctions exponentielles et la définition du logarithme comme réciproque de l’exponentielle de même base. La figure suit le cas a=2a = 2 : la droite horizontale de hauteur 33 coupe la courbe de y=2xy = 2^x en un seul point, et celle de hauteur −2-2 ne la coupe pas.

Démonstration

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Si u=vu = v, les puissances coïncident, parce qu’une fonction associe à chaque nombre une seule valeur. Réciproquement, si u≠vu \neq v, l’un des deux est plus petit, et, par la stricte monotonie des fonctions exponentielles, démontrée dans le théorème sur les propriétés des fonctions exponentielles, leurs puissances sont distinctes.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Si log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, on applique aux deux membres l’exponentielle de base aa, qui défait le logarithme, et on obtient u=vu = v ; l’implication dans l’autre sens est évidente.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Si c>0c > 0, le nombre log⁡ac\log_a c est solution, par la définition du logarithme ; et c’est la seule, parce que toute solution a la même puissance que lui.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Si c≤0c \leq 0, il n’y a pas de solution, parce que la puissance axa^x est strictement positive pour tout réel xx.

Se ramener à une même base

Si les deux membres peuvent s’écrire comme puissances d’une même base, l’injectivité permet d’égaler les exposants, et l’équation exponentielle devient une équation algébrique. Par exemple, comme 8=238 = 2^3 et 4=224 = 2^2, l’équation 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} équivaut à 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, c’est-à-dire à 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, dont la solution est x=5x = 5 :

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Passer aux logarithmes

Lorsque les bases ne sont pas des puissances d’un même nombre, comme 22 et 33, on prend le logarithme des deux membres. Si les deux membres sont strictement positifs, l’injectivité du logarithme garantit que l’équation obtenue est équivalente à l’équation initiale : on ne perd ni n’ajoute de solutions. N’importe quelle base convient ; d’ordinaire on utilise le logarithme népérien, défini dans la leçon sur la fonction logarithme, ou le logarithme de base 1010.

ExempleUne équation à deux bases

Résoudre l’équation 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Démonstration

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    Les deux membres sont strictement positifs pour tout xx. On prend le logarithme népérien des deux, ce qui donne une équation équivalente par l’injectivité du logarithme.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    La règle de la puissance fait descendre les exposants comme facteurs.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    On regroupe les termes en xx dans un membre. Le coefficient ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 est strictement positif, parce que le logarithme népérien est strictement croissant et 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    On divise par ce coefficient. D’après la règle du quotient, le dénominateur est ln⁡32\ln \frac{3}{2}, et, par le changement de base, la solution est un logarithme de base 32\frac{3}{2} ; elle vaut environ 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Un tableau de valeurs confirme l’emplacement : en 22 la première puissance est la plus grande, et en 33 la seconde ; les courbes se coupent entre ces deux nombres, au seul point où xx vérifie l’équation.

Équations qui se ramènent au second degré

Si l’équation fait apparaître axa^x et a2xa^{2x}, ou des puissances qui s’y ramènent, comme 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, le changement de variable t=axt = a^x la transforme en une équation du second degré en tt, qui se résout avec les méthodes de la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré. Or la nouvelle variable ne parcourt pas tous les réels : comme axa^x est toujours strictement positive, seules les valeurs strictement positives de tt sont admises. Chaque racine strictement positive donne, par le théorème d’injectivité, exactement une solution x=log⁡atx = \log_a t, et chaque racine négative ou nulle est écartée.

ExempleUn changement de variable

Résoudre l’équation 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Démonstration

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    On écrit 4x4^x comme le carré de 2x2^x et on appelle tt cette puissance, qui est strictement positive.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    L’équation est du second degré en tt, et on la factorise en cherchant deux nombres de produit −6-6 et de somme −1-1.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    La racine t=−2t = -2 est écartée, parce que tt est strictement positive : l’équation 2x=−22^x = -2 n’a pas de solution. La figure montre la parabole dans le plan de la variable tt, dont seule compte la portion où t>0t > 0.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    La racine t=3t = 3 est strictement positive et donne exactement une solution, par le théorème d’injectivité ; elle vaut environ 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Vérification : par la définition du logarithme, 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, et le carré de cette puissance est 99.