Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Краткое содержание

Этот урок учит решать уравнения и неравенства, в которых неизвестное входит в показатель степени или в аргумент логарифма. Он опирается на два свойства показательной и логарифмической функций: на их инъективность, позволяющую приравнивать показатели и аргументы, и на их монотонность, которая сохраняет или меняет знак неравенства в зависимости от основания. С их помощью изучаются приведение к одному основанию, логарифмирование, замена переменной, превращающая уравнение в квадратное, область определения логарифмических уравнений и посторонние корни, возникающие при применении свойств логарифмов вне их области определения, системы, уравнения, которые не решает никакой алгебраический метод и единственное решение которых локализуется делением отрезка пополам, и исследование числа решений уравнения с параметром.

Цели обучения

  1. Решать показательные уравнения приведением к одному основанию, логарифмированием или с помощью замены переменной, превращающей их в квадратные, отбрасывая неположительные значения новой переменной.
  2. Решать логарифмические уравнения, сначала находя их область определения, применяя свойства логарифмов только там, где они верны, и распознавая посторонние корни.
  3. Решать показательные и логарифмические неравенства, сохраняя или меняя знак неравенства в зависимости от основания, и записывать множество решений как объединение промежутков.
  4. Доказывать с помощью теоремы о промежуточном значении, что уравнение, не решаемое алгебраическим методом, имеет единственное решение, локализовать его делением отрезка пополам и исследовать число решений уравнения с параметром.

Показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в какой-либо показатель степени, как 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} или 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Для их решения используются факты, изученные в уроках о показательной функции и о логарифмической функции. Если a>0a > 0 и a≠1a \neq 1, степень axa^x определена для всякого действительного xx и всегда положительна; она строго возрастает при a>1a > 1 и строго убывает при 0<a<10 < a < 1 и принимает каждое положительное значение ровно один раз. Обратная к ней функция есть логарифм по основанию aa, определённый на положительных действительных числах, который обладает свойствами произведения, частного и степени, если аргументы положительны, и подчиняется формуле перехода к новому основанию.

ТеоремаИнъективность показательной функции и логарифма

Пусть aa есть положительное действительное число, отличное от 11. Для всех действительных uu и vv равенство au=ava^u = a^v выполняется тогда и только тогда, когда u=vu = v; для всех положительных действительных uu и vv равенство log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v выполняется тогда и только тогда, когда u=vu = v. Кроме того, если c>0c > 0, уравнение ax=ca^x = c имеет ровно одно решение, а именно x=log⁡acx = \log_a c, а если c≤0c \leq 0, то не имеет ни одного.

Используются строгая монотонность показательной функции и определение логарифма как обратной к ней функции. Рисунок следует случаю a=2a = 2: горизонтальная прямая на высоте 33 пересекает график y=2xy = 2^x в единственной точке, а прямая на высоте −2-2 его не пересекает.

Доказательство

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Если u=vu = v, степени совпадают, так как функция сопоставляет каждому числу единственное значение. Обратно, если u≠vu \neq v, одно из двух чисел меньше другого, и по строгой монотонности показательной функции, доказанной в теореме о свойствах показательной функции, их степени различны.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Если log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, применим к обеим частям показательную функцию с основанием aa, которая отменяет логарифм, и получим u=vu = v; обратное очевидно.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Если c>0c > 0, число log⁡ac\log_a c является решением по определению логарифма; и оно единственно, так как всякое решение имеет ту же степень, что и оно.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Если c≤0c \leq 0, решений нет, так как степень axa^x положительна для всякого действительного xx.

Приведение к одному основанию

Если обе части можно записать как степени одного и того же основания, инъективность позволяет приравнять показатели, и показательное уравнение превращается в алгебраическое. Например, так как 8=238 = 2^3 и 4=224 = 2^2, уравнение 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} равносильно уравнению 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, то есть уравнению 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, решение которого есть x=5x = 5:

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Логарифмирование

Когда основания не являются степенями одного и того же числа, как 22 и 33, логарифмируют обе части. Если обе части положительны, инъективность логарифма гарантирует, что полученное уравнение равносильно исходному: решения не теряются и не добавляются. Годится любое основание; обычно используют натуральный логарифм, определённый в уроке о логарифмической функции, или логарифм по основанию 1010.

ПримерУравнение с двумя основаниями

Решить уравнение 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Доказательство

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    Обе части положительны при всяком xx. Возьмём натуральный логарифм обеих частей; по инъективности логарифма получится равносильное уравнение.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    Свойство степени выносит показатели в качестве множителей.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    Соберём члены, содержащие xx, в одной части. Коэффициент ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 положителен, так как натуральный логарифм строго возрастает и 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    Разделим на этот коэффициент. По свойству частного знаменатель равен ln⁡32\ln \frac{3}{2}, а по формуле перехода к новому основанию решение есть логарифм по основанию 32\frac{3}{2}; оно приближённо равно 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Таблица значений подтверждает его положение: в точке 22 больше первая степень, а в точке 33 вторая; графики пересекаются между этими двумя числами, в единственной точке, где xx удовлетворяет уравнению.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Если в уравнении встречаются axa^x и a2xa^{2x} или степени, сводящиеся к ним, как 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, то замена переменной t=axt = a^x превращает его в квадратное уравнение относительно tt, которое решается методами урока о разложении квадратного трёхчлена. Однако новая переменная пробегает не все действительные числа: так как axa^x всегда положительно, допускаются только положительные значения tt. Каждый положительный корень даёт, по теореме об инъективности, ровно одно решение x=log⁡atx = \log_a t, а каждый отрицательный или нулевой корень отбрасывается.

ПримерЗамена переменной

Решить уравнение 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Доказательство

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    Запишем 4x4^x как квадрат 2x2^x и обозначим через tt эту степень, которая положительна.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    Уравнение квадратное относительно tt и раскладывается на множители, если найти два числа с произведением −6-6 и суммой −1-1.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    Корень t=−2t = -2 отбрасывается, так как tt положительно: уравнение 2x=−22^x = -2 не имеет решений. Рисунок показывает параболу в плоскости переменной tt, из которой учитывается только часть, где t>0t > 0.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    Корень t=3t = 3 положителен и даёт ровно одно решение по теореме об инъективности; оно приближённо равно 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Подстановка: по определению логарифма 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, а квадрат этой степени равен 99.