Aeqvationes et inaeqvationes exponentiales et logarithmicae

Svmmarivm

Haec lectio docet aeqvationes et inaeqvationes solvere in qvibvs incognita in exponente avt in argvmento logarithmi apparet. Nititvr dvabvs proprietatibvs fvnctionvm exponentialivm et logarithmicarvm: earvm iniectivitate, qvae exponentes et argvmenta aeqvare sinit, et earvm monotonia, qvae sensvm inaeqvalitatis pro basi servat avt invertit. His adhibitis tractantvr redvctio ad eandem basem, svmptio logarithmorvm, mvtatio variabilis qvae aeqvationem in qvadraticam convertit, dominivm aeqvationvm logarithmicarvm et solvtiones alienae qvae orivntvr cvm leges logarithmorvm extra earvm dominivm adhibentvr, systemata, aeqvationes qvas nvlla methodvs algebraica solvit, qvarvm vnica solvtio per bisectionem inclvditvr, et disceptatio de nvmero solvtionvm aeqvationis cvm parametro.

Proposita discendi

Aeqvationes exponentiales solvere ad eandem basem redvcendo, logarithmos svmendo avt per mvtationem variabilis qvae eas in qvadraticas convertat, valores non positivos novae variabilis reiciendo.
Aeqvationes logarithmicas solvere primvm earvm dominivm determinando, leges logarithmorvm ibi tantvm adhibendo vbi valent et solvtiones alienas agnoscendo.
Inaeqvationes exponentiales et logarithmicas solvere, inaeqvalitatem pro basi servando avt invertendo, et copiam solvtionvm vt vnionem intervallorvm exprimere.
Demonstrare, theoremate valoris intermedii adhibito, aeqvationem sine methodo algebraica vnicam solvtionem habere, eam per bisectionem inclvdere et de nvmero solvtionvm aeqvationis cvm parametro disceptare.

Aeqvationes exponentiales

Aeqvatio exponentialis est aeqvatio in qva incognita in aliqvo exponente invenitvr, vt $2^x = 3^{x - 1}$ avt $4^x - 2^x - 6 = 0$ . Ad eas solvendas adhibentvr ea qvae in lectionibvs de fvnctione exponentiali et potentia exponentis realis et de fvnctione logarithmo tractata svnt. Si $a > 0$ et $a \neq 1$ , potentia $a^x$ pro omni reali $x$ definita est et semper positiva; stricte crescens est si $a > 1$ et stricte decrescens si $0 < a < 1$ , et qvemqve valorem positivvm semel omnino assvmit. Eivs inversa est logarithmvs basis $a$ , in realibvs positivis definitvs, qvi leges prodvcti, qvotientis et potentiae servat, dvmmodo argvmenta positiva sint, et formvlam mvtationis basis.

TheoremaIniectivitas exponentialis et logarithmi

Sit $a$ realis positivvs a $1$ diversvs. Pro omnibvs realibvs $u$ et $v$ habetvr $a^u = a^v$ si et solvm si $u = v$ ; pro omnibvs realibvs positivis $u$ et $v$ habetvr $\log_a u = \log_a v$ si et solvm si $u = v$ . Praeterea, si $c > 0$ , aeqvatio $a^x = c$ vnam omnino solvtionem habet, scilicet $x = \log_a c$ , et si $c \leq 0$ nvllam habet.

Adhibentvr stricta monotonia exponentialis et definitio logarithmi vt eivs inversae. Figvra casvm $a = 2$ seqvitvr: recta horizontalis altitvdinis $3$ delineationem ipsivs $y = 2^x$ in vno tantvm pvncto secat, et recta altitvdinis $-2$ eam non secat.

Demonstratio

$u \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}$
Si $u = v$ , potentiae congrvvnt, qvia fvnctio cviqve nvmero vnicvm valorem tribvit. Conversim, si $u \neq v$ , alter e dvobvs minor est, et propter strictam monotoniam exponentialis, in theoremate de proprietatibvs fvnctionis exponentialis demonstratam, eorvm potentiae diversae svnt.
$\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v$
Si $\log_a u = \log_a v$ , vtriqve membro adhibetvr exponentialis basis $a$ , qvae logarithmvm tollit, et efficitvr $u = v$ ; conversa manifesta est.
$a^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}$
Si $c > 0$ , nvmervs $\log_a c$ solvtio est, ex definitione logarithmi; et vnica est, qvia omnis solvtio eandem potentiam habet atqve ille.
$a^x > 0 \geq c$
Si $c \leq 0$ , nvlla est solvtio, qvia potentia $a^x$ pro omni reali $x$ positiva est.

Ad eandem basem redvcere

Si vtrvmqve membrvm vt potentia eivsdem basis scribi potest, iniectivitas exponentes aeqvare sinit, et aeqvatio exponentialis in aeqvationem algebraicam vertitvr. Exempli gratia, cvm $8 = 2^3$ et $4 = 2^2$ , aeqvatio $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$ aeqvivalet ipsi $2^{3x - 3} = 2^{2x + 2}$ , id est ipsi $3x - 3 = 2x + 2$ , cvivs solvtio est $x = 5$ :

8^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Logarithmos svmere

Cvm bases non svnt potentiae eivsdem nvmeri, vt $2$ et $3$ , logarithmvs vtrivsqve membri svmitvr. Si vtrvmqve membrvm positivvm est, iniectivitas logarithmi praestat aeqvationem adeptam originali aeqvivalere: nec amittvntvr nec addvntvr solvtiones. Qvaelibet basis idonea est; vvlgo adhibetvr logarithmvs natvralis, in lectione de fvnctione logarithmo definitvs, avt logarithmvs basis $10$ .

ExemplvmAeqvatio cvm dvabvs basibvs

Aeqvationem $2^x = 3^{x - 1}$ solvere.

Demonstratio

$2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}$
Vtrvmqve membrvm pro omni $x$ positivvm est. Logarithmvm natvralem vtrivsqve svmimvs, qvod aeqvationem aeqvivalentem praebet propter iniectivitatem logarithmi.
$\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}$
Lex potentiae exponentes vt factores dedvcit.
$x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3$
Terminos cvm $x$ in vno membro colligimvs. Coefficiens $\ln 3 - \ln 2$ positivvs est, qvia logarithmvs natvralis stricte crescens est et $2 < 3$ .
$x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}$
Per hvnc coefficientem dividimvs. Per legem qvotientis denominator est $\ln \frac{3}{2}$ , et per mvtationem basis solvtio est logarithmvs basis $\frac{3}{2}$ ; fere 2,71 valet.
$2^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}$
Tabvla valorvm locvm confirmat: in $2$ potentia prima maior est, in $3$ altera; delineationes inter hos dvos nvmeros se secant, in vnico pvncto in qvo $x$ aeqvationi satisfacit.

Aeqvationes qvae ad qvadraticam redvcvntvr

Si in aeqvatione apparent $a^x$ et $a^{2x}$ , avt potentiae qvae ad eas redvcvntvr, vt $4^x = (2^x)^2$ , mvtatio variabilis $t = a^x$ eam in aeqvationem qvadraticam in $t$ convertit, qvae methodis lectionis de factorizatione polynomii qvadratici solvitvr. Attamen nova variabilis non omnes reales percvrrit: cvm $a^x$ semper positiva sit, soli valores positivi ipsivs $t$ admittvntvr. Qvaeqve radix positiva, per theorema iniectivitatis, vnam omnino solvtionem $x = \log_a t$ praebet, et qvaeqve radix negativa avt nvlla reicitvr.

ExemplvmMvtatio variabilis

Aeqvationem $4^x - 2^x - 6 = 0$ solvere.

Demonstratio

$\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}$
Scribimvs $4^x$ vt qvadratvm ipsivs $2^x$ et $t$ hanc potentiam vocamvs, qvae positiva est.
$\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0$
Aeqvatio qvadratica est in $t$ , et in factores resolvitvr qvaerendo dvos nvmeros qvorvm prodvctvm est $-6$ et svmma $-1$ .
$t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0$
Radix $t = -2$ reicitvr, qvia $t$ positiva est: aeqvatio $2^x = -2$ solvtionem non habet. Figvra parabolam in plano variabilis $t$ ostendit, cvivs ea tantvm portio valet in qva $t > 0$ .
$2^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}$
Radix $t = 3$ positiva est et vnam omnino solvtionem praebet, per theorema iniectivitatis; fere 1,58 valet.
$4^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}$
Confirmatio: ex definitione logarithmi, $2^{\log_2 3} = 3$ , et qvadratvm hvivs potentiae est $9$ .