चरघातांकी और लघुगणकीय समीकरण तथा असमिकाएँ

सारांश

यह पाठ ऐसे समीकरणों और असमीकरणों को हल करना सिखाता है जिनमें अज्ञात किसी घातांक में या किसी लघुगणक के कोणांक में आता है। यह चरघातांकी और लघुगणकीय फलनों के दो गुणों पर आधारित है: उनकी एकैकिता, जो घातांकों को और कोणांकों को बराबर रखने देती है, और उनकी एकदिष्टता, जो आधार के अनुसार किसी असमिका की दिशा को बनाए रखती है या उलट देती है। इनकी सहायता से एक ही आधार पर लाना, लघुगणक लेना, समीकरण को द्विघात में बदलने वाला चर-प्रतिस्थापन, लघुगणकीय समीकरणों का प्रांत और वे बाह्य हल जो लघुगणक के नियमों को उनके प्रांत के बाहर लागू करने पर प्रकट होते हैं, निकाय, वे समीकरण जिन्हें कोई बीजीय विधि हल नहीं करती और जिनका अद्वितीय हल द्विभाजन से स्थित किया जाता है, तथा प्राचल वाले समीकरण के हलों की संख्या का विवेचन, इन सबका अध्ययन किया जाता है।

अधिगम उद्देश्य

एक ही आधार पर लाकर, लघुगणक लेकर या ऐसे चर-प्रतिस्थापन द्वारा जो उन्हें द्विघात समीकरणों में बदल दे, चरघातांकी समीकरणों को हल करना, और नए चर के अधनात्मक मानों को छोड़ देना।
पहले प्रांत निर्धारित करके, लघुगणक के नियमों को केवल वहीं लागू करके जहाँ वे मान्य हैं, और बाह्य हलों को पहचानकर लघुगणकीय समीकरणों को हल करना।
आधार के अनुसार असमिका की दिशा बनाए रखते हुए या उलटते हुए चरघातांकी और लघुगणकीय असमीकरणों को हल करना, और हल समुच्चय को अंतरालों के सम्मिलन के रूप में व्यक्त करना।
मध्यवर्ती मान प्रमेय से यह सिद्ध करना कि बीजीय विधि रहित किसी समीकरण का अद्वितीय हल है, उसे द्विभाजन से स्थित करना, और प्राचल वाले समीकरण के हलों की संख्या का विवेचन करना।

चरघातांकी समीकरण

चरघातांकी समीकरण वह समीकरण है जिसमें अज्ञात किसी घातांक में आता है, जैसे $2^x = 3^{x - 1}$ या $4^x - 2^x - 6 = 0$ । इन्हें हल करने के लिए चरघातांकी फलन वाले पाठ में और लघुगणकीय फलन वाले पाठ में अध्ययन किए गए तथ्यों का प्रयोग होता है। यदि $a > 0$ और $a \neq 1$ , तो घात $a^x$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए परिभाषित है और सदा धनात्मक है; यह दृढ़तः वर्धमान है यदि $a > 1$ , और दृढ़तः ह्रासमान है यदि $0 < a < 1$ , और प्रत्येक धनात्मक मान ठीक एक बार लेती है। इसका प्रतिलोम आधार $a$ पर लघुगणक है, जो धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, और जो गुणनफल, भागफल और घात के नियमों को, बशर्ते कोणांक धनात्मक हों, तथा आधार परिवर्तन के सूत्र को संतुष्ट करता है।

प्रमेयचरघातांकी फलन और लघुगणक की एकैकिता

मान लीजिए $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जो $1$ से अलग है। सभी वास्तविक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए, $a^u = a^v$ तभी और केवल तभी है जब $u = v$ ; सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए, $\log_a u = \log_a v$ तभी और केवल तभी है जब $u = v$ । इसके अतिरिक्त, यदि $c > 0$ , तो समीकरण $a^x = c$ का ठीक एक हल है, अर्थात् $x = \log_a c$ , और यदि $c \leq 0$ तो इसका कोई हल नहीं है।

चरघातांकी फलन की दृढ़ एकदिष्टता और लघुगणक की उसके प्रतिलोम के रूप में परिभाषा का प्रयोग होता है। आकृति स्थिति $a = 2$ का अनुसरण करती है: ऊँचाई $3$ पर क्षैतिज रेखा $y = 2^x$ के आलेख को केवल एक बिंदु पर काटती है, और ऊँचाई $-2$ पर रेखा उसे नहीं काटती।

प्रमाण

$u \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}$
यदि $u = v$ , तो घातें बराबर हैं, क्योंकि फलन प्रत्येक संख्या को एक ही मान देता है। विलोमतः, यदि $u \neq v$ , तो दोनों में से एक छोटी है, और चरघातांकी फलन की दृढ़ एकदिष्टता से, जो चरघातांकी फलन के गुणों के प्रमेय में सिद्ध हुई थी, उनकी घातें अलग हैं।
$\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v$
यदि $\log_a u = \log_a v$ , तो दोनों पक्षों पर आधार $a$ वाला चरघातांकी फलन लगाते हैं, जो लघुगणक को निरस्त करता है, और $u = v$ प्राप्त होता है; विलोम स्पष्ट है।
$a^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}$
यदि $c > 0$ , तो लघुगणक की परिभाषा से संख्या $\log_a c$ एक हल है; और यही एकमात्र हल है, क्योंकि प्रत्येक हल की घात वही है जो इसकी है।
$a^x > 0 \geq c$
यदि $c \leq 0$ , तो कोई हल नहीं है, क्योंकि घात $a^x$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है।

एक ही आधार पर लाना

यदि दोनों पक्षों को एक ही आधार की घातों के रूप में लिखा जा सके, तो एकैकिता घातांकों को बराबर रखने देती है, और चरघातांकी समीकरण एक बीजीय समीकरण में बदल जाता है। जैसे, चूँकि $8 = 2^3$ और $4 = 2^2$ , समीकरण $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$ तुल्य है $2^{3x - 3} = 2^{2x + 2}$ के, अर्थात् $3x - 3 = 2x + 2$ के, जिसका हल $x = 5$ है:

8^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

लघुगणक लेना

जब आधार एक ही संख्या की घातें न हों, जैसे $2$ और $3$ , तब दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं। यदि दोनों पक्ष धनात्मक हों, तो लघुगणक की एकैकिता यह सुनिश्चित करती है कि प्राप्त समीकरण मूल समीकरण के तुल्य है: न हल खोते हैं, न जुड़ते हैं। कोई भी आधार चलता है; सामान्यतः प्राकृतिक लघुगणक का, जो लघुगणकीय फलन वाले पाठ में परिभाषित हुआ, या आधार $10$ पर लघुगणक का प्रयोग होता है।

उदाहरणदो आधारों वाला समीकरण

समीकरण $2^x = 3^{x - 1}$ को हल कीजिए।

प्रमाण

$2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}$
दोनों पक्ष प्रत्येक $x$ के लिए धनात्मक हैं। दोनों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हैं, जिससे लघुगणक की एकैकिता के कारण एक तुल्य समीकरण मिलता है।
$\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}$
घात का नियम घातांकों को गुणनखंडों के रूप में नीचे ले आता है।
$x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3$
$x$ वाले पदों को एक पक्ष में इकट्ठा करते हैं। गुणांक $\ln 3 - \ln 2$ धनात्मक है, क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक दृढ़तः वर्धमान है और $2 < 3$ ।
$x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}$
इस गुणांक से भाग देते हैं। भागफल के नियम से हर $\ln \frac{3}{2}$ है, और आधार परिवर्तन से हल आधार $\frac{3}{2}$ पर एक लघुगणक है; इसका मान लगभग 2.71 है।
$2^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}$
मानों की एक सारणी स्थिति की पुष्टि करती है: $2$ पर पहली घात बड़ी है, और $3$ पर दूसरी; आलेख इन दोनों संख्याओं के बीच कटते हैं, उस एकमात्र बिंदु पर जहाँ $x$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

द्विघात में बदलने वाले समीकरण

यदि समीकरण में $a^x$ और $a^{2x}$ , या उन्हीं में बदलने वाली घातें, जैसे $4^x = (2^x)^2$ , आती हैं, तो चर-प्रतिस्थापन $t = a^x$ उसे $t$ में द्विघात समीकरण में बदल देता है, जिसे द्विघात बहुपद के गुणनखंडन वाले पाठ की विधियों से हल किया जाता है। किंतु नया चर सभी वास्तविक संख्याओं पर नहीं चलता: चूँकि $a^x$ सदा धनात्मक है, केवल $t$ के धनात्मक मान स्वीकार्य हैं। एकैकिता के प्रमेय से प्रत्येक धनात्मक मूल ठीक एक हल $x = \log_a t$ देता है, और प्रत्येक ऋणात्मक या शून्य मूल छोड़ दिया जाता है।

उदाहरणएक चर-प्रतिस्थापन

समीकरण $4^x - 2^x - 6 = 0$ को हल कीजिए।

प्रमाण

$\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}$
$4^x$ को $2^x$ के वर्ग के रूप में लिखते हैं और इस घात को $t$ कहते हैं, जो धनात्मक है।
$\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0$
समीकरण $t$ में द्विघात है, और ऐसी दो संख्याएँ खोजकर इसका गुणनखंडन होता है जिनका गुणनफल $-6$ और योग $-1$ हो।
$t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0$
मूल $t = -2$ छोड़ दिया जाता है, क्योंकि $t$ धनात्मक है: समीकरण $2^x = -2$ का कोई हल नहीं है। आकृति चर $t$ के तल में परवलय दिखाती है, जिसका केवल वह हिस्सा गिना जाता है जहाँ $t > 0$ ।
$2^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}$
मूल $t = 3$ धनात्मक है और एकैकिता के प्रमेय से ठीक एक हल देता है; इसका मान लगभग 1.58 है।
$4^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}$
जाँच: लघुगणक की परिभाषा से $2^{\log_2 3} = 3$ , और इस घात का वर्ग $9$ है।

इस पाठ के शेष भाग में

लघुगणकीय समीकरण
चरघातांकी और लघुगणकीय असमीकरण
समीकरण निकाय
बीजीय विधि रहित समीकरण
प्राचल वाले समीकरण
हल प्रश्न
तीन आधारों वाला समीकरण
आधार में अज्ञात
स्थान बदलने वाली घातें
एक से छोटे आधार वाला लघुगणकीय असमीकरण
प्राचल के अनुसार विवेचन
अभ्यास प्रश्न
दो अम्लों का मिश्रण
लघुगणकीय घातांक वाली घात
असमीकरण के आधार में अज्ञात
घातांकों में एक पाइथागोरस त्रिक
दो व्युत्क्रम आधार

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