Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μοντέλα εκθετικής αύξησης και απόσβεσης

Περίληψη

Το μάθημα αυτό εφαρμόζει την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση στην περιγραφή μεγεθών που μεταβάλλονται κατά την ίδια αναλογία σε ίσες περιόδους. Μελετά τη διακριτή αύξηση με σταθερό λόγο και το συνεχές μοντέλο P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, αποδεικνύει ότι σε αυτό ο χρόνος διπλασιασμού και ο χρόνος ημιζωής δεν εξαρτώνται από τη στιγμή στην οποία μετρώνται, και εφαρμόζει το αποτέλεσμα στη ραδιενεργό διάσπαση, στη χρονολόγηση με άνθρακα 14 και στον νόμο ψύξης του Νεύτωνα. Διδάσκει έπειτα πώς προσδιορίζονται οι παράμετροι ενός μοντέλου από δύο δεδομένα, αποδεικνύει ότι τα εκθετικά δεδομένα ευθυγραμμίζονται σε μια ημιλογαριθμική γραφική παράσταση και κλείνει με το λογιστικό μοντέλο, του οποίου η αύξηση είναι φραγμένη και η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς το μέσο της.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αναγνωρίζει τα μοντέλα διακριτής και συνεχούς αύξησης και απόσβεσης και να συσχετίζει τον λόγο μεταβολής ανά περίοδο με τη σταθερά του μοντέλου.
  2. Να υπολογίζει και να χρησιμοποιεί τον χρόνο διπλασιασμού και τον χρόνο ημιζωής, και να τους εφαρμόζει στη ραδιενεργό διάσπαση, στη χρονολόγηση με άνθρακα 14 και στην ψύξη ενός σώματος.
  3. Να προσδιορίζει τις παραμέτρους ενός εκθετικού μοντέλου από δύο δεδομένα και να αναγνωρίζει εκθετικά δεδομένα σε μια ημιλογαριθμική γραφική παράσταση.
  4. Να μελετά το λογιστικό μοντέλο: το φράγμα του, τη μονοτονία του και τη συμμετρία της γραφικής του παράστασης ως προς το σημείο στο οποίο φτάνει το μισό του φράγματός του.

Αύξηση με σταθερό λόγο

Ένα μέγεθος μπορεί να αυξάνεται με δύο στοιχειώδεις τρόπους. Αν σε κάθε περίοδο του προστίθεται η ίδια ποσότητα, οι τιμές του σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο και η γραφική του παράσταση είναι ευθεία· έτσι αυξάνεται ένα κεφάλαιο με απλό τόκο, που κάθε χρόνο λαμβάνει τον ίδιο τόκο. Αν, αντίθετα, σε κάθε περίοδο πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο παράγοντα, οι τιμές του σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο· έτσι αυξάνεται ένα κεφάλαιο με ανατοκισμό, του οποίου ο τόκος κάθε χρόνου υπολογίζεται επί του συσσωρευμένου κεφαλαίου, και έτσι αυξάνεται ένας πληθυσμός βακτηρίων στον οποίο κάθε κύτταρο διαιρείται σε σταθερό χρόνο. Και οι δύο πρόοδοι μελετήθηκαν στο μάθημα για τα αθροίσματα, τις προόδους και την επαγωγή· το μάθημα αυτό ασχολείται με τη δεύτερη και με τη συνεχή εκδοχή της.

Έστω P0>0P_0 > 0 η αρχική τιμή ενός μεγέθους και PnP_n η τιμή του μετά από nn περιόδους. Λέμε ότι το μέγεθος μεταβάλλεται με σταθερό λόγο rr ανά περίοδο, με r>−1r > -1, όταν κάθε τιμή προκύπτει από την τιμή που προηγείται αν πολλαπλασιαστεί με 1+r1 + r, δηλαδή όταν το πηλίκο δύο διαδοχικών τιμών είναι πάντα το ίδιο:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

Ο αριθμός rr εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό: ένας πληθυσμός που αυξάνεται κατά 33 τοις εκατό τον χρόνο έχει r=3100r = \frac{3}{100}, και μια ουσία που χάνει το ένα πέμπτο της μάζας της κάθε ώρα έχει r=−15r = -\frac{1}{5}. Αν r>0r > 0 μιλάμε για αύξηση· αν −1<r<0-1 < r < 0, για απόσβεση.

ΛήμμαΑύξηση με σταθερό λόγο

Αν Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n για κάθε nn, με P0>0P_0 > 0 και r>−1r > -1, τότε Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n για κάθε φυσικό nn. Όλες οι τιμές είναι θετικές· η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα αν r>0r > 0 και γνησίως φθίνουσα αν −1<r<0-1 < r < 0.

Ο τύπος είναι ο γενικός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο 1+r1 + r και αποδεικνύεται με επαγωγή. Το σχήμα δείχνει τις πρώτες τιμές με P0=1P_0 = 1, πρώτα με r=12r = \frac{1}{2} και έπειτα με r=−12r = -\frac{1}{2}.

Απόδειξη

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Για n=1n = 1, ο τύπος είναι η παραδοχή εφαρμοσμένη στο P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Αν ο τύπος ισχύει για nn, η παραδοχή τον δίνει για n+1n + 1· από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, ισχύει για κάθε φυσικό.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Αφού τα P0P_0 και 1+r1 + r είναι θετικά, όλες οι δυνάμεις και τα γινόμενά τους είναι θετικά: όλες οι τιμές είναι θετικές.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    Η διαφορά δύο διαδοχικών τιμών είναι rPnr P_n, που έχει το πρόσημο του rr: η ακολουθία αυξάνεται αν r>0r > 0 και μειώνεται αν −1<r<0-1 < r < 0.

Για παράδειγμα, ένα κεφάλαιο ύψους 10001000 με επιτόκιο 55 τοις εκατό ετησίως και ανατοκισμό γίνεται μετά από τρία χρόνια

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

δηλαδή 1157,625, ενώ με απλό τόκο θα γινόταν 11501150. Η διαφορά, μικρή στην αρχή, αυξάνεται απεριόριστα με τον αριθμό των ετών· το λυμένο πρόβλημα 2 αποδεικνύει ότι, από το δεύτερο έτος και μετά, ο ανατοκισμός υπερβαίνει πάντα τον απλό τόκο, και η συστηματική μελέτη των κεφαλαίων και των επιτοκίων είναι αντικείμενο του κύκλου μαθημάτων Χρηματοοικονομικά μαθηματικά.