चरघातांकी वृद्धि और क्षय के मॉडल

स्थिर अनुपात पर वृद्धि

कोई राशि दो प्रारंभिक तरीकों से बढ़ सकती है। यदि प्रत्येक अवधि में उसमें एक ही मात्रा जोड़ी जाए, तो उसके मान एक समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं और उसका आलेख एक सरल रेखा होता है; साधारण ब्याज पर लगी पूँजी इसी तरह बढ़ती है, जिसे हर वर्ष समान ब्याज मिलता है। इसके विपरीत, यदि प्रत्येक अवधि में उसे एक ही गुणक से गुणा किया जाए, तो उसके मान एक गुणोत्तर श्रेढ़ी बनाते हैं; चक्रवृद्धि ब्याज पर लगी पूँजी इसी तरह बढ़ती है, जिसके प्रत्येक वर्ष का ब्याज संचित पूँजी पर परिकलित होता है, और जीवाणुओं की वह समष्टि भी इसी तरह बढ़ती है जिसमें प्रत्येक कोशिका एक निश्चित समय में विभाजित होती है। दोनों श्रेढ़ियों का अध्ययन योग, श्रेढ़ियाँ और आगमन वाले पाठ में किया गया था; यह पाठ दूसरी श्रेढ़ी और उसके सतत रूप से संबंधित है।

मान लीजिए $P_0 > 0$ किसी राशि का प्रारंभिक मान है और $P_n$, $n$ अवधियों के बाद उसका मान है। कहा जाता है कि राशि प्रति अवधि स्थिर अनुपात $r$ पर बदलती है, जहाँ $r > -1$, जब प्रत्येक मान अपने से ठीक पहले वाले मान को $1 + r$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है, अर्थात जब दो क्रमागत मानों का भागफल सदा एक ही होता है:

संख्या $r$ प्रायः प्रतिशत में व्यक्त की जाती है: जो समष्टि प्रति वर्ष $3$ प्रतिशत बढ़ती है उसके लिए $r = \frac{3}{100}$, और जो पदार्थ हर घंटे अपने द्रव्यमान का पाँचवाँ हिस्सा खोता है उसके लिए $r = -\frac{1}{5}$। यदि $r > 0$ तो वृद्धि की बात की जाती है; यदि $-1 < r < 0$, तो क्षय की।

उदाहरण के लिए, $1000$ की पूँजी, $5$ प्रतिशत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर, तीन वर्ष बाद बन जाती है

अर्थात 1157.625, जबकि साधारण ब्याज पर वह $1150$ बनती। यह अंतर, जो आरंभ में छोटा होता है, वर्षों की संख्या के साथ असीमित रूप से बढ़ता है; हल किया गया प्रश्न 2 सिद्ध करता है कि दूसरे वर्ष से चक्रवृद्धि ब्याज सदा साधारण ब्याज से अधिक होता है, और पूँजियों तथा ब्याज दरों का व्यवस्थित अध्ययन वित्तीय गणित पाठ्यक्रम का विषय है।