अतिपरवलयिक फलन

सारांश

यह पाठ अतिपरवलयिक कोज्या, ज्या और स्पर्शज्या का अध्ययन करता है, जो तीन फलन हैं और प्राकृतिक चरघातांकी फलन $e^x$ को उसके व्युत्क्रम $e^{-x}$ के साथ मिलाकर प्राप्त होते हैं। यह उनकी समता, उनका चिह्न, उनकी एकदिष्टता और उनका परिसर निर्धारित करता है, और सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ सिद्ध करता है, जिसके अनुसार बिंदु $\left( \cosh t, \sinh t \right)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की दाईं शाखा पर चलता है और उसके प्रत्येक बिंदु से ठीक एक बार गुज़रता है; इन फलनों का नाम यहीं से आता है। इसके बाद यह योग सूत्र और द्विगुण कोणांक सूत्र व्युत्पन्न करता है, और प्रतिलोम फलन प्राप्त करता है, जो लघुगणकों के द्वारा व्यक्त होते हैं। अंत में यह रज्जु वक्र का वर्णन करता है, जो लटकी हुई ज़ंजीर का आकार है, और अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का, जो वृत्तीय फलनों के साथ सादृश्य की पूर्वसूचना देता है।

अधिगम उद्देश्य

अतिपरवलयिक कोज्या, ज्या और स्पर्शज्या को प्राकृतिक चरघातांकी फलन से परिभाषित करना, और उनकी समता, उनका चिह्न, उनकी एकदिष्टता और उनके परिबंध सिद्ध करना।
आधारभूत सर्वसमिका सिद्ध करना और उसके द्वारा अतिपरवलयों की शाखाओं का प्राचलिक निरूपण करना, यह पहचानते हुए कि शाखा के प्रत्येक बिंदु के संगत एक अद्वितीय प्राचल है।
योग सूत्र और द्विगुण कोणांक सूत्र व्युत्पन्न करना, और उन्हें सर्वसमिकाओं और असमिकाओं की उपपत्ति में लागू करना।
$e^y$ में द्विघात समीकरणों को हल करके प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों को उनके प्रांतों सहित प्राप्त करना, और उनके द्वारा अतिपरवलयिक समीकरण हल करना।

परिभाषा और प्रारंभिक गुण

संख्या e और प्राकृतिक चरघातांकी फलन वाले पाठ में फलन $e^x$ परिभाषित किया गया था, जो पूरी वास्तविक रेखा पर धनात्मक और निरंतर वर्धमान है। उसका व्युत्क्रम $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ भी धनात्मक है, परंतु निरंतर ह्रासमान है, और उसका आलेख $e^x$ के आलेख का $y$ -अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है, जैसा फलनों की संक्रियाओं वाले पाठ में देखा गया। इन दोनों फलनों के योग का आधा और अंतर का आधा, तथा उनका भागफल, ज्यामिति, भौतिकी और कलन में इतनी बार आते हैं कि उन्हें अपने नाम मिले हैं।

प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $x$ की अतिपरवलयिक कोज्या, अतिपरवलयिक ज्या और अतिपरवलयिक स्पर्शज्या को क्रमशः $e^x$ और $e^{-x}$ के योग का आधा, उनके अंतर का आधा, और दूसरे को पहले से भाग देने पर प्राप्त भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

तीनों फलन पूरे $\mathbb{R}$ पर परिभाषित हैं: स्पर्शज्या का हर दो धनात्मक संख्याओं का योग है और कभी शून्य नहीं होता। $x = 0$ पर $e^0 = 1$ है, अतः $\cosh 0 = 1$ , $\sinh 0 = 0$ और $\tanh 0 = 0$ । विशेषण “अतिपरवलयिक” का औचित्य तीसरे भाग में मिलेगा, जहाँ हम देखेंगे कि ये फलन एक अतिपरवलय का वर्णन करते हैं।

उपप्रमेयसमता और चरघातांकी फलन का विघटन

अतिपरवलयिक कोज्या एक सम फलन है, और अतिपरवलयिक ज्या और स्पर्शज्या विषम फलन हैं। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए $e^x = \cosh x + \sinh x$ और $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ सत्य हैं।

$x$ के स्थान पर $-x$ रखने पर फलन $e^x$ और $e^{-x}$ अपनी भूमिकाएँ बदल लेते हैं। चित्र अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या के आलेख दिखाता है, प्रत्येक पर विपरीत भुजों वाले दो बिंदुओं के साथ।

प्रमाण

$\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x$
$x$ के स्थान पर $-x$ रखने पर योग का आधा नहीं बदलता, क्योंकि उसके दोनों पद आपस में स्थान बदल लेते हैं: अतिपरवलयिक कोज्या सम है, और उसका आलेख $y$ -अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x$
इसके विपरीत, अंतर का आधा चिह्न बदल लेता है: अतिपरवलयिक ज्या विषम है, और उसका आलेख मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है।
$\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x$
स्पर्शज्या, एक विषम फलन और एक सम फलन का भागफल होने के कारण, विषम है।
$\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}$
अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या की परिभाषाओं को जोड़ने और घटाने से दोनों चरघातांकी फलन वापस मिलते हैं: $\cosh x$ और $\sinh x$ क्रमशः चरघातांकी फलन का सम भाग और विषम भाग हैं।

उदाहरणअतिपरवलयिक कोज्या और ज्या के आलेख

$\cosh$ और $\sinh$ के आलेख, प्रत्येक भुज पर $\frac{e^x}{2}$ और $\frac{e^{-x}}{2}$ की कोटियों को जोड़कर और घटाकर, बनाए जाते हैं।

प्रमाण

$y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{e^x}{2}$ का आलेख $e^x$ के आलेख को ऊर्ध्वाधर दिशा में आधा संकुचित करके प्राप्त होता है: यह $y$ -अक्ष को $\frac{1}{2}$ पर काटता है, दाईं ओर असीम रूप से बढ़ता है और बाईं ओर $x$ -अक्ष के निकट आता है।
$y = \frac{e^{-x}}{2}$
$\frac{e^{-x}}{2}$ का आलेख अभी बनाए गए आलेख का $y$ -अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है।
$\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}$
प्रत्येक भुज पर $\cosh x$ दोनों कोटियों का योग है। $0$ पर दोनों का मान $\frac{1}{2}$ है: आलेख $(0, 1)$ से गुज़रता है, और $y$ -अक्ष के सापेक्ष सममित है, क्योंकि अतिपरवलयिक कोज्या सम है।
$\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0$
अतिपरवलयिक कोज्या $\frac{e^x}{2}$ से ठीक $\frac{e^{-x}}{2}$ अधिक है, जो एक धनात्मक राशि है और $x$ के बढ़ने पर जितनी चाहें उतनी छोटी हो जाती है: दाईं ओर $\cosh$ का आलेख ऊपर से $\frac{e^x}{2}$ के आलेख के निकट आता है, और बाईं ओर, सममिति से, $\frac{e^{-x}}{2}$ के आलेख के।
$\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}$
अतिपरवलयिक ज्या कोटियों का अंतर है। यह मूल बिंदु से गुज़रती है और इसका आलेख मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है, क्योंकि अतिपरवलयिक ज्या विषम है।
$\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0$
दाईं ओर $\sinh$ का आलेख नीचे से $\frac{e^x}{2}$ के आलेख के निकट आता है, जबकि $\cosh$ का आलेख ऊपर से उसके निकट आता है: दोनों एक दूसरे के निकट आते हैं पर कभी स्पर्श नहीं करते, क्योंकि उनका अंतर धनात्मक है।

अतिपरवलयिक ज्या का चिह्न उसकी परिभाषा से पढ़ा जा सकता है: $\sinh x > 0$ , $e^x > e^{-x}$ के तुल्य है, और चूँकि चरघातांकी फलन निरंतर वर्धमान है, यह ठीक तब होता है जब $x > -x$ , अर्थात् जब $x > 0$ । अतः अतिपरवलयिक ज्या ऋणात्मक है यदि $x < 0$ , $0$ पर शून्य है और धनात्मक है यदि $x > 0$ ; अतिपरवलयिक स्पर्शज्या, ज्या और एक धनात्मक संख्या का भागफल होने के कारण, उसी चिह्न की है। इसके विपरीत, अतिपरवलयिक कोज्या सदा धनात्मक है, और इससे भी अधिक सत्य है।

उपप्रमेयअतिपरवलयिक कोज्या का निम्न परिबंध

प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए $\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}$ सत्य है। फलस्वरूप $\cosh x \geq 1$ , और समता केवल तब होती है जब $x = 0$ ।

विचार यह है कि $\cosh x - 1$ के अंश में एक अंतर के वर्ग को पहचाना जाए। चित्र अतिपरवलयिक कोज्या का आलेख रेखा $y = 1$ के ऊपर दिखाता है, और दोनों के अंतर को एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड के रूप में।

प्रमाण

$e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}$
घातांकों के नियम से, $e^x$ , $e^{\frac{x}{2}}$ का वर्ग है, $e^{-x}$ , $e^{-\frac{x}{2}}$ का वर्ग है, और इन दोनों घातों का गुणनफल $e^0 = 1$ है।
$\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}$
अतः $\cosh x - 1$ का अंश एक अंतर का वर्ग है, और वह अंतर $\sinh \frac{x}{2}$ का दुगुना है।
$\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0$
वर्ग ऋणात्मक नहीं होता: अतिपरवलयिक कोज्या कम से कम $1$ है।
$\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}$
समता के लिए आवश्यक है कि वर्ग का आधार शून्य हो, अर्थात् $e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}$ ; चूँकि चरघातांकी फलन एकैकी है, इसके लिए $\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}$ आवश्यक है, अर्थात् $x = 0$ ।

असमिका $\cosh x \geq 1$ धनात्मक संख्याओं $e^x$ और $e^{-x}$ के समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच की असमिका है, जिनका गुणोत्तर माध्य $1$ है।

इस पाठ के शेष भाग में

एकदिष्टता, परिसर और आलेख
अतिपरवलयिक स्पर्शज्या की अनंतस्पर्शियाँ
रज्जु वक्र
अतिपरवलयिक फलन और अतिपरवलय
अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड और इन फलनों का नाम
योग सूत्र
प्रतिलोम फलन
हल किए गए प्रश्न
दो परस्पर विपरीत हलों वाला एक समीकरण
द्विगुण कोणांक की स्पर्शज्या
एक अतिपरवलय का प्राचलिक निरूपण
कोज्या और ज्या के योग की घातें
रज्जु वक्र और उसका परवलय
प्रस्तावित प्रश्न
ज्या और स्पर्शज्या के बीच एक असमिका
मूल बिंदु से तीन की दूरी पर अतिपरवलय का एक बिंदु
अतिपरवलयिक स्पर्शज्याओं का योग
दो प्रतिलोम जो संपाती हैं
अतिपरवलयिक कोज्याओं का एक दूरदर्शी योग

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