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Topos Uranos
日本語

双曲線関数

要約

この課では、双曲線余弦、双曲線正弦、双曲線正接を学ぶ。これらは自然指数関数 exe^x とその逆数 e−xe^{-x} を組み合わせて得られる三つの関数である。それらの偶奇性、符号、単調性、値域を定め、恒等式 cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 を証明する。この恒等式によれば、点 (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) は双曲線 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 の右の枝を動き、その各点をちょうど一度ずつ通る。これらの関数の名はここに由来する。続いて加法定理と 2 倍角の公式を導き、逆関数を求める。逆関数は対数で表される。最後に、吊り下げたチェーンの形である懸垂線と、双曲扇形の面積を述べる。後者は円関数との類比を予告する。

学習目標

  1. 双曲線余弦、双曲線正弦、双曲線正接を自然指数関数から定義し、それらの偶奇性、符号、単調性、上下の限界を証明する。
  2. 基本恒等式を証明し、それを用いて双曲線の枝を媒介変数表示し、枝の各点にただ一つの媒介変数が対応することを理解する。
  3. 加法定理と 2 倍角の公式を導き、それらを恒等式と不等式の証明に応用する。
  4. eye^y についての二次方程式を解いて、逆双曲線関数をその定義域とともに求め、それらを用いて双曲線関数の方程式を解く。

定義と基本的な性質

数 e と自然指数関数の課では、関数 exe^x を定義した。これは実数直線全体で正であり、狭義単調増加である。その逆数 e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} も正であるが、狭義単調減少であり、そのグラフは exe^x のグラフを yy 軸に関して対称移動したものである。これは関数の演算の課による。これら二つの関数の和の半分と差の半分、そしてそれらの商は、幾何学、物理学、解析学にきわめて頻繁に現れるので、固有の名前をもつ。

任意の実数 xx に対して、xx の双曲線余弦、双曲線正弦、双曲線正接を、それぞれ exe^x と e−xe^{-x} の和の半分、それらの差の半分、そして後者を前者で割った商として定義する。
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

三つの関数は R\mathbb{R} 全体で定義されている。正接の分母は二つの正の数の和であり、決してゼロにならない。x=0x = 0 では e0=1e^0 = 1 であるから、cosh⁡0=1\cosh 0 = 1、sinh⁡0=0\sinh 0 = 0、tanh⁡0=0\tanh 0 = 0 である。「双曲線」という語は第三節で正当化される。そこでは、これらの関数が双曲線を描くことがわかる。

補題偶奇性と指数関数の分解

双曲線余弦は偶関数であり、双曲線正弦と双曲線正接は奇関数である。さらに、任意の実数 xx に対して ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x と e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x が成り立つ。

xx を −x-x に置き換えると、関数 exe^x と e−xe^{-x} は役割を入れ替える。図は双曲線余弦と双曲線正弦のグラフを、それぞれの上に横座標が互いに反数である二点をとって示す。

証明

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    xx を −x-x に置き換えても、和の半分は変わらない。二つの項が入れ替わるだけだからである。双曲線余弦は偶関数であり、そのグラフは yy 軸に関して対称である。

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    一方、差の半分は符号を変える。双曲線正弦は奇関数であり、そのグラフは原点に関して対称である。

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    正接は奇関数を偶関数で割った商であるから、奇関数である。

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    双曲線余弦と双曲線正弦の定義を加えたり引いたりすると、二つの指数関数が復元される。cosh⁡x\cosh x と sinh⁡x\sinh x は、それぞれ指数関数の偶部分と奇部分である。

例双曲線余弦と双曲線正弦のグラフ

cosh⁡\cosh と sinh⁡\sinh のグラフは、横座標ごとに ex2\frac{e^x}{2} と e−x2\frac{e^{-x}}{2} の縦座標を加えたり引いたりして作られる。

証明

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    ex2\frac{e^x}{2} のグラフは、exe^x のグラフを縦方向に半分に縮小して得られる。それは yy 軸と 12\frac{1}{2} で交わり、右へ限りなく増加し、左へ xx 軸に近づく。

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    e−x2\frac{e^{-x}}{2} のグラフは、いま作ったグラフを yy 軸に関して対称移動したものである。

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    各横座標において、cosh⁡x\cosh x は二つの縦座標の和である。00 では両者とも 12\frac{1}{2} に等しい。したがってグラフは (0,1)(0, 1) を通り、yy 軸に関して対称である。双曲線余弦は偶関数だからである。

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    双曲線余弦は ex2\frac{e^x}{2} よりちょうど e−x2\frac{e^{-x}}{2} だけ大きい。これは正の量であり、xx が大きくなるとき、いくらでも小さくなる。右へ行くと、cosh⁡\cosh のグラフは ex2\frac{e^x}{2} のグラフに上から近づき、左へ行くと、対称性により e−x2\frac{e^{-x}}{2} のグラフに近づく。

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    双曲線正弦は二つの縦座標の差である。それは原点を通り、そのグラフは原点に関して対称である。双曲線正弦は奇関数だからである。

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    右へ行くと、sinh⁡\sinh のグラフは ex2\frac{e^x}{2} のグラフに下から近づき、一方 cosh⁡\cosh のグラフはそれに上から近づく。二つのグラフは互いに近づくが、決して接しない。それらの差は正だからである。

双曲線正弦の符号はその定義から読み取れる。sinh⁡x>0\sinh x > 0 は ex>e−xe^x > e^{-x} と同値であり、指数関数は狭義単調増加であるから、これはちょうど x>−xx > -x のとき、すなわち x>0x > 0 のときに起こる。したがって、双曲線正弦は x<0x < 0 のとき負、00 でゼロ、x>0x > 0 のとき正である。双曲線正接は正弦を正の数で割った商であるから、同じ符号をもつ。これに対して双曲線余弦は常に正であり、さらに強いことが成り立つ。

補題双曲線余弦の下限

任意の実数 xx に対して cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2} が成り立つ。したがって cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 であり、等号は x=0x = 0 のときに限り成り立つ。

考え方は、cosh⁡x−1\cosh x - 1 の分子の中に差の平方を見いだすことである。図は直線 y=1y = 1 の上方にある双曲線余弦のグラフを示し、両者の差を鉛直な線分で表す。

証明

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    指数法則により、exe^x は ex2e^{\frac{x}{2}} の平方であり、e−xe^{-x} は e−x2e^{-\frac{x}{2}} の平方であり、これら二つの累乗の積は e0=1e^0 = 1 である。

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    したがって、cosh⁡x−1\cosh x - 1 の分子は差の平方であり、その差は sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2} の 2 倍である。

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    平方は負にならない。よって双曲線余弦は少なくとも 11 である。

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    等号が成り立つには、平方の底がゼロであること、すなわち ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} が必要である。指数関数は単射であるから、これは x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}、つまり x=0x = 0 を要求する。

不等式 cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 は、正の数 exe^x と e−xe^{-x} の相加平均と相乗平均の間の不等式であり、それらの相乗平均は 11 である。