انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الدوال الزائدية

ملخص

يدرس هذا الدرس جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي والظل الزائدي، وهي ثلاث دوال تنتج من تركيب الدالة الأسية الطبيعية exe^x مع مقلوبها e−xe^{-x}. ويحدّد زوجيتها وإشارتها ورتابتها ومداها، ويبرهن المتطابقة cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1، التي بمقتضاها تجري النقطة (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) على الفرع الأيمن من القطع الزائد x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 وتمرّ بكل نقطة من نقاطه مرة واحدة فقط، ومن هنا جاء اسمها. ثم يستنتج صيغ الجمع وصيغ ضعف المتغير، ويحصل على الدوال العكسية، التي يُعبَّر عنها باللوغاريتمات. ويصف أخيرًا المنحنى السلسلي، وهو شكل سلسلة معلّقة، ومساحة القطاع الزائدي، التي تمهّد للتشابه مع الدوال الدائرية.

أهداف التعلم

  1. تعريف جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي والظل الزائدي انطلاقًا من الدالة الأسية الطبيعية، وبرهان زوجيتها وإشارتها ورتابتها وحدودها.
  2. برهان المتطابقة الأساسية واستعمالها في التمثيل الوسيطي لفروع القطوع الزائدة، مع إدراك أن لكل نقطة من الفرع وسيطًا وحيدًا يقابلها.
  3. استنتاج صيغ الجمع وصيغ ضعف المتغير، وتطبيقها في برهان متطابقات ومتباينات.
  4. الحصول على الدوال الزائدية العكسية مع مجالات تعريفها، بحلّ معادلات تربيعية في eye^y، واستعمالها في حلّ معادلات زائدية.

التعريف والخواص الأولى

في الدرس الخاص بـالعدد e والدالة الأسية الطبيعية عُرّفت الدالة exe^x، وهي موجبة ومتزايدة تمامًا على المستقيم الحقيقي كله. ومقلوبها e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} موجب أيضًا، لكنه متناقص تمامًا، وتمثيله البياني هو انعكاس تمثيل exe^x بالنسبة إلى المحور yy، وفق الدرس الخاص بـالعمليات على الدوال. ونصف مجموع هاتين الدالتين ونصف الفرق بينهما، وكذلك خارج قسمتهما، تظهر في الهندسة والفيزياء والتحليل بكثرة تجعلها تحظى بأسماء خاصة.

لكل عدد حقيقي xx يُعرَّف جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي والظل الزائدي للعدد xx بأنها نصف مجموع exe^x وe−xe^{-x}، ونصف الفرق بينهما، وخارج قسمة الثاني على الأول، على الترتيب.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

الدوال الثلاث معرّفة على R\mathbb{R} كله: فمقام الظل مجموع عددين موجبين ولا ينعدم أبدًا. وعند x=0x = 0 لدينا e0=1e^0 = 1، ومن ثم cosh⁡0=1\cosh 0 = 1 وsinh⁡0=0\sinh 0 = 0 وtanh⁡0=0\tanh 0 = 0. وسيُسوَّغ وصف «زائدي» في القسم الثالث، حيث سنرى أن هذه الدوال تصف قطعًا زائدًا.

توطئةالزوجية وتفكيك الدالة الأسية

جيب التمام الزائدي دالة زوجية، والجيب الزائدي والظل الزائدي دالتان فرديتان. وفضلًا عن ذلك، يتحقق لكل عدد حقيقي xx كلٌّ من ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x وe−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

عند التعويض عن xx بـ−x-x، تتبادل الدالتان exe^x وe−xe^{-x} دوريهما. ويبيّن الرسم التمثيلين البيانيين لجيب التمام الزائدي والجيب الزائدي مع نقطتين فاصلتاهما متعاكستان على كل منهما.

البرهان

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    عند التعويض عن xx بـ−x-x، لا يتغير نصف المجموع، لأن حدّيه يتبادلان موضعيهما: جيب التمام الزائدي زوجي، وتمثيله البياني متناظر بالنسبة إلى المحور yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    أما نصف الفرق فتتغير إشارته: الجيب الزائدي فردي، وتمثيله البياني متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    الظل، بوصفه خارج قسمة دالة فردية على دالة زوجية، فردي.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    بجمع تعريفي جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي وطرحهما نستعيد الدالتين الأسيتين: cosh⁡x\cosh x وsinh⁡x\sinh x هما، على الترتيب، الجزء الزوجي والجزء الفردي من الدالة الأسية.

مثالالتمثيلان البيانيان لجيب التمام الزائدي والجيب الزائدي

يُنشأ التمثيلان البيانيان لـcosh⁡\cosh ولـsinh⁡\sinh بجمع ترتيبات ex2\frac{e^x}{2} وe−x2\frac{e^{-x}}{2} وطرحها، فاصلةً فاصلةً.

البرهان

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    يُحصل على التمثيل البياني لـex2\frac{e^x}{2} من تمثيل exe^x بانكماشه عموديًا إلى النصف: فهو يقطع المحور yy عند 12\frac{1}{2}، ويتزايد دون حدّ نحو اليمين، ويقترب من المحور xx نحو اليسار.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    التمثيل البياني لـe−x2\frac{e^{-x}}{2} هو انعكاس التمثيل الذي أُنشئ للتوّ بالنسبة إلى المحور yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    عند كل فاصلة، يكون cosh⁡x\cosh x مجموع الترتيبتين. وعند 00 تساوي كلتاهما 12\frac{1}{2}: فالتمثيل البياني يمرّ بـ(0,1)(0, 1)، وهو متناظر بالنسبة إلى المحور yy، لأن جيب التمام الزائدي زوجي.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    يزيد جيب التمام الزائدي على ex2\frac{e^x}{2} بمقدار e−x2\frac{e^{-x}}{2} بالضبط، وهو مقدار موجب يصغر بقدر ما نشاء عندما يكبر xx: نحو اليمين يقترب التمثيل البياني لـcosh⁡\cosh من أعلى من تمثيل ex2\frac{e^x}{2}، ونحو اليسار، بالتناظر، من تمثيل e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    الجيب الزائدي هو الفرق بين الترتيبتين. وهو يمرّ بالمبدأ وتمثيله البياني متناظر بالنسبة إلى المبدأ، لأن الجيب الزائدي فردي.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    نحو اليمين يقترب التمثيل البياني لـsinh⁡\sinh من أسفل من تمثيل ex2\frac{e^x}{2}، بينما يقترب تمثيل cosh⁡\cosh منه من أعلى: فيتقارب الاثنان دون أن يتلامسا، لأن الفرق بينهما موجب.

تُقرأ إشارة الجيب الزائدي من تعريفه: sinh⁡x>0\sinh x > 0 يكافئ ex>e−xe^x > e^{-x}، وبما أن الدالة الأسية متزايدة تمامًا، فإن ذلك يحدث بالضبط عندما x>−xx > -x، أي عندما x>0x > 0. لذلك فالجيب الزائدي سالب إذا كان x<0x < 0، ومنعدم عند 00، وموجب إذا كان x>0x > 0؛ والظل الزائدي، بوصفه خارج قسمة الجيب على عدد موجب، له الإشارة نفسها. أما جيب التمام الزائدي فموجب دائمًا، بل يصحّ أكثر من ذلك.

توطئةالحد الأدنى لجيب التمام الزائدي

لكل عدد حقيقي xx يتحقق cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. ومن ثم cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1، ولا تتحقق المساواة إلا عندما x=0x = 0.

الفكرة هي أن نتعرّف في بسط cosh⁡x−1\cosh x - 1 على مربع فرق. ويبيّن الرسم التمثيل البياني لجيب التمام الزائدي فوق المستقيم y=1y = 1، والفرق بينهما قطعة مستقيمة عمودية.

البرهان

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    بقانون الأسس، exe^x مربع ex2e^{\frac{x}{2}}، وe−xe^{-x} مربع e−x2e^{-\frac{x}{2}}، وجداء هاتين القوتين هو e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    لذلك فبسط cosh⁡x−1\cosh x - 1 مربع فرق، وهذا الفرق هو ضعف sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    المربع ليس سالبًا: جيب التمام الزائدي لا يقلّ عن 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    تقتضي المساواة أن يكون أساس المربع منعدمًا، أي ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}؛ وبما أن الدالة الأسية تباينية، فإن ذلك يقتضي x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}، أي x=0x = 0.

المتباينة cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 هي متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي للعددين الموجبين exe^x وe−xe^{-x}، اللذين وسطهما الهندسي 11.