Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Οι υπερβολικές συναρτήσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά το υπερβολικό συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονο και την υπερβολική εφαπτομένη, τρεις συναρτήσεις που προκύπτουν συνδυάζοντας τη φυσική εκθετική συνάρτηση exe^x με την αντίστροφή της e−xe^{-x}. Προσδιορίζει την αρτιότητα, το πρόσημο, τη μονοτονία και το σύνολο τιμών τους, και αποδεικνύει την ταυτότητα cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, σύμφωνα με την οποία το σημείο (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) διατρέχει τον δεξιό κλάδο της υπερβολής x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 και περνά μία μόνο φορά από καθένα από τα σημεία του, απ’ όπου προέρχεται και το όνομά τους. Στη συνέχεια συνάγει τους τύπους πρόσθεσης και του διπλάσιου ορίσματος, και βρίσκει τις αντίστροφες συναρτήσεις, που εκφράζονται με λογαρίθμους. Περιγράφει, τέλος, την αλυσοειδή καμπύλη, που είναι το σχήμα μιας κρεμασμένης αλυσίδας, και το εμβαδόν του υπερβολικού τομέα, που προαναγγέλλει την αναλογία με τις κυκλικές συναρτήσεις.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει το υπερβολικό συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονο και την υπερβολική εφαπτομένη μέσω της φυσικής εκθετικής συνάρτησης, και να αποδεικνύει την αρτιότητα, το πρόσημο, τη μονοτονία και τα φράγματά τους.
  2. Να αποδεικνύει τη θεμελιώδη ταυτότητα και να τη χρησιμοποιεί για να παραμετρικοποιεί τους κλάδους των υπερβολών, αναγνωρίζοντας ότι σε κάθε σημείο ενός κλάδου αντιστοιχεί μία μοναδική παράμετρος.
  3. Να συνάγει τους τύπους πρόσθεσης και του διπλάσιου ορίσματος, και να τους εφαρμόζει στην απόδειξη ταυτοτήτων και ανισοτήτων.
  4. Να βρίσκει τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις με τα πεδία ορισμού τους, λύνοντας δευτεροβάθμιες εξισώσεις ως προς eye^y, και να τις χρησιμοποιεί για να λύνει υπερβολικές εξισώσεις.

Ορισμός και πρώτες ιδιότητες

Στο μάθημα για τον αριθμό e και τη φυσική εκθετική συνάρτηση ορίστηκε η συνάρτηση exe^x, θετική και γνησίως αύξουσα σε όλη την πραγματική ευθεία. Η αντίστροφή της e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} είναι επίσης θετική, αλλά γνησίως φθίνουσα, και η γραφική της παράσταση είναι η ανάκλαση εκείνης της exe^x ως προς τον άξονα yy, σύμφωνα με το μάθημα για τις πράξεις συναρτήσεων. Το ημιάθροισμα και η ημιδιαφορά αυτών των δύο συναρτήσεων, καθώς και το πηλίκο τους, εμφανίζονται τόσο συχνά στη γεωμετρία, στη φυσική και στον λογισμό, ώστε παίρνουν δικό τους όνομα.

Για κάθε πραγματικό αριθμό xx ορίζονται το υπερβολικό συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονο και η υπερβολική εφαπτομένη του xx ως το ημιάθροισμα των exe^x και e−xe^{-x}, η ημιδιαφορά τους και το πηλίκο της δεύτερης προς την πρώτη, αντίστοιχα.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Οι τρεις συναρτήσεις ορίζονται σε όλο το R\mathbb{R}: ο παρονομαστής της εφαπτομένης είναι άθροισμα δύο θετικών αριθμών και δεν μηδενίζεται ποτέ. Στο x=0x = 0 ισχύει e0=1e^0 = 1, οπότε cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 και tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. Το επίθετο «υπερβολικός» θα δικαιολογηθεί στην τρίτη παράγραφο, όπου θα φανεί ότι οι συναρτήσεις αυτές περιγράφουν μια υπερβολή.

ΛήμμαΑρτιότητα και ανάλυση της εκθετικής

Το υπερβολικό συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, ενώ το υπερβολικό ημίτονο και η υπερβολική εφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις. Επιπλέον, για κάθε πραγματικό xx ισχύουν ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x και e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Όταν το xx αντικατασταθεί από το −x-x, οι συναρτήσεις exe^x και e−xe^{-x} ανταλλάσσουν τους ρόλους τους. Το σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις του υπερβολικού συνημιτόνου και του υπερβολικού ημιτόνου με δύο σημεία αντίθετων τετμημένων στην καθεμία.

Απόδειξη

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Όταν το xx αντικατασταθεί από το −x-x, το ημιάθροισμα δεν αλλάζει, γιατί οι δύο προσθετέοι του ανταλλάσσονται: το υπερβολικό συνημίτονο είναι άρτιο, και η γραφική του παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    Η ημιδιαφορά, αντίθετα, αλλάζει πρόσημο: το υπερβολικό ημίτονο είναι περιττό, και η γραφική του παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    Η εφαπτομένη, ως πηλίκο μιας περιττής συνάρτησης προς μια άρτια, είναι περιττή.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Προσθέτοντας και αφαιρώντας τους ορισμούς του υπερβολικού συνημιτόνου και του υπερβολικού ημιτόνου ανακτώνται οι δύο εκθετικές: τα cosh⁡x\cosh x και sinh⁡x\sinh x είναι, αντίστοιχα, το άρτιο μέρος και το περιττό μέρος της εκθετικής.

ΠαράδειγμαΟι γραφικές παραστάσεις του υπερβολικού συνημιτόνου και του υπερβολικού ημιτόνου

Οι γραφικές παραστάσεις του cosh⁡\cosh και του sinh⁡\sinh κατασκευάζονται προσθέτοντας και αφαιρώντας, τετμημένη προς τετμημένη, τις τεταγμένες της ex2\frac{e^x}{2} και της e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Απόδειξη

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    Η γραφική παράσταση της ex2\frac{e^x}{2} προκύπτει από εκείνη της exe^x με κατακόρυφη συστολή στο μισό: τέμνει τον άξονα yy στο 12\frac{1}{2}, αυξάνεται απεριόριστα προς τα δεξιά και πλησιάζει τον άξονα xx προς τα αριστερά.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    Η γραφική παράσταση της e−x2\frac{e^{-x}}{2} είναι η ανάκλαση εκείνης ως προς τον άξονα yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    Σε κάθε τετμημένη, το cosh⁡x\cosh x είναι το άθροισμα των δύο τεταγμένων. Στο 00 και οι δύο ισούνται με 12\frac{1}{2}: η γραφική παράσταση διέρχεται από το (0,1)(0, 1), και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy, γιατί το υπερβολικό συνημίτονο είναι άρτιο.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    Το υπερβολικό συνημίτονο υπερβαίνει την ex2\frac{e^x}{2} ακριβώς κατά e−x2\frac{e^{-x}}{2}, ποσότητα θετική που γίνεται όσο μικρή θέλουμε όταν το xx αυξάνεται: προς τα δεξιά, η γραφική παράσταση του cosh⁡\cosh πλησιάζει από πάνω εκείνη της ex2\frac{e^x}{2}, και προς τα αριστερά, λόγω συμμετρίας, εκείνη της e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    Το υπερβολικό ημίτονο είναι η διαφορά των τεταγμένων. Διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η γραφική του παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή, γιατί το υπερβολικό ημίτονο είναι περιττό.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Προς τα δεξιά, η γραφική παράσταση του sinh⁡\sinh πλησιάζει από κάτω εκείνη της ex2\frac{e^x}{2}, ενώ εκείνη του cosh⁡\cosh την πλησιάζει από πάνω: οι δύο προσεγγίζουν η μία την άλλη χωρίς να αγγίζονται ποτέ, γιατί η διαφορά τους είναι θετική.

Το πρόσημο του υπερβολικού ημιτόνου διαβάζεται στον ορισμό του: η sinh⁡x>0\sinh x > 0 ισοδυναμεί με την ex>e−xe^x > e^{-x}, και αφού η εκθετική είναι γνησίως αύξουσα, αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν x>−xx > -x, δηλαδή όταν x>0x > 0. Επομένως, το υπερβολικό ημίτονο είναι αρνητικό αν x<0x < 0, μηδέν στο 00 και θετικό αν x>0x > 0· η υπερβολική εφαπτομένη, ως πηλίκο του ημιτόνου προς έναν θετικό αριθμό, έχει το ίδιο πρόσημο. Το υπερβολικό συνημίτονο, αντίθετα, είναι πάντα θετικό, και ισχύει κάτι περισσότερο.

ΛήμμαΚάτω φράγμα του υπερβολικού συνημιτόνου

Για κάθε πραγματικό xx ισχύει cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Κατά συνέπεια, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, και η ισότητα ισχύει μόνο όταν x=0x = 0.

Η ιδέα είναι να αναγνωρίσουμε στον αριθμητή της cosh⁡x−1\cosh x - 1 το τετράγωνο μιας διαφοράς. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση του υπερβολικού συνημιτόνου πάνω από την ευθεία y=1y = 1, με τη διαφορά τους ως ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα.

Απόδειξη

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    Από την ιδιότητα των δυνάμεων, η exe^x είναι το τετράγωνο της ex2e^{\frac{x}{2}}, η e−xe^{-x} είναι το τετράγωνο της e−x2e^{-\frac{x}{2}}, και το γινόμενο αυτών των δύο δυνάμεων είναι e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Επομένως, ο αριθμητής της cosh⁡x−1\cosh x - 1 είναι το τετράγωνο μιας διαφοράς, και η διαφορά αυτή είναι το διπλάσιο του sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Ένα τετράγωνο δεν είναι αρνητικό: το υπερβολικό συνημίτονο είναι τουλάχιστον 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    Η ισότητα απαιτεί να είναι μηδενική η βάση του τετραγώνου, δηλαδή ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}· αφού η εκθετική είναι ένα προς ένα, αυτό απαιτεί x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, δηλαδή x=0x = 0.

Η ανισότητα cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 είναι η ανισότητα αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου των θετικών αριθμών exe^x και e−xe^{-x}, των οποίων ο γεωμετρικός μέσος είναι 11.