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Topos Uranos
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Le funzioni iperboliche

Riepilogo

Questa lezione studia il coseno, il seno e la tangente iperbolici, tre funzioni che si ottengono combinando l’esponenziale naturale exe^x con la sua reciproca e−xe^{-x}. Ne determina la parità, il segno, la monotonia e l’insieme immagine, e dimostra l’identità cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, secondo la quale il punto (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) percorre il ramo destro dell’iperbole x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 e passa una sola volta per ciascuno dei suoi punti, da cui proviene il loro nome. Deduce poi le formule di addizione e di duplicazione, e ottiene le funzioni inverse, che si esprimono mediante logaritmi. Descrive, infine, la catenaria, che è la forma di una catena sospesa, e l’area del settore iperbolico, che annuncia l’analogia con le funzioni circolari.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire il coseno, il seno e la tangente iperbolici a partire dall’esponenziale naturale, e dimostrarne la parità, il segno, la monotonia e le limitazioni.
  2. Dimostrare l’identità fondamentale e impiegarla per parametrizzare i rami delle iperboli, riconoscendo che a ogni punto di un ramo corrisponde un unico parametro.
  3. Dedurre le formule di addizione e di duplicazione, e applicarle alla dimostrazione di identità e disuguaglianze.
  4. Ottenere le funzioni iperboliche inverse con i loro domini, risolvendo equazioni di secondo grado in eye^y, e usarle per risolvere equazioni iperboliche.

Definizione e prime proprietà

Nella lezione sul numero e e l’esponenziale naturale si è definita la funzione exe^x, positiva e strettamente crescente su tutta la retta reale. La sua reciproca e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} è anch’essa positiva, ma strettamente decrescente, e il suo grafico è il riflesso di quello di exe^x rispetto all’asse yy, secondo la lezione sulle operazioni tra funzioni. La semisomma e la semidifferenza di queste due funzioni, e il loro quoziente, compaiono con tanta frequenza nella geometria, nella fisica e nell’analisi che ricevono un nome proprio.

Per ogni numero reale xx si definiscono il coseno iperbolico, il seno iperbolico e la tangente iperbolica di xx come la semisomma di exe^x e e−xe^{-x}, la loro semidifferenza e il quoziente tra la seconda e la prima, rispettivamente.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Le tre funzioni sono definite su tutto R\mathbb{R}: il denominatore della tangente è una somma di due numeri positivi e non si annulla mai. In x=0x = 0 si ha e0=1e^0 = 1, cosicché cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 e tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. L’aggettivo «iperbolico» sarà giustificato nella terza sezione, dove si vedrà che queste funzioni descrivono un’iperbole.

LemmaParità e scomposizione dell’esponenziale

Il coseno iperbolico è una funzione pari, e il seno e la tangente iperbolici sono funzioni dispari. Inoltre, per ogni reale xx valgono ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x e e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Sostituendo xx con −x-x, le funzioni exe^x e e−xe^{-x} si scambiano i ruoli. La figura mostra i grafici del coseno e del seno iperbolici con due punti di ascisse opposte su ciascuno.

Dimostrazione

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Sostituendo xx con −x-x, la semisomma non cambia, perché i suoi due addendi si scambiano: il coseno iperbolico è pari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    La semidifferenza, invece, cambia segno: il seno iperbolico è dispari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    La tangente, quoziente di una funzione dispari per una pari, è dispari.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Sommando e sottraendo le definizioni del coseno e del seno iperbolici si ritrovano le due esponenziali: cosh⁡x\cosh x e sinh⁡x\sinh x sono, rispettivamente, la parte pari e la parte dispari dell’esponenziale.

EsempioI grafici del coseno e del seno iperbolici

I grafici di cosh⁡\cosh e di sinh⁡\sinh si costruiscono sommando e sottraendo, ascissa per ascissa, le ordinate di ex2\frac{e^x}{2} e di e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Dimostrazione

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    Il grafico di ex2\frac{e^x}{2} si ottiene da quello di exe^x comprimendolo verticalmente della metà: taglia l’asse yy in 12\frac{1}{2}, cresce senza limitazioni verso destra e si avvicina all’asse xx verso sinistra.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    Il grafico di e−x2\frac{e^{-x}}{2} è il riflesso del primo rispetto all’asse yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    In ogni ascissa, cosh⁡x\cosh x è la somma delle due ordinate. In 00 entrambe valgono 12\frac{1}{2}: il grafico passa per (0,1)(0, 1), ed è simmetrico rispetto all’asse yy, perché il coseno iperbolico è pari.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    Il coseno iperbolico supera ex2\frac{e^x}{2} esattamente di e−x2\frac{e^{-x}}{2}, quantità positiva che diventa piccola quanto si vuole quando xx cresce: verso destra, il grafico di cosh⁡\cosh si avvicina dall’alto a quello di ex2\frac{e^x}{2}, e verso sinistra, per simmetria, a quello di e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    Il seno iperbolico è la differenza delle ordinate. Il suo grafico passa per l’origine ed è simmetrico rispetto all’origine, perché il seno iperbolico è dispari.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Verso destra, il grafico di sinh⁡\sinh si avvicina dal basso a quello di ex2\frac{e^x}{2}, mentre quello di cosh⁡\cosh lo fa dall’alto: i due si avvicinano tra loro senza mai toccarsi, perché la loro differenza è positiva.

Il segno del seno iperbolico si legge nella sua definizione: sinh⁡x>0\sinh x > 0 equivale a ex>e−xe^x > e^{-x}, e poiché l’esponenziale è strettamente crescente, ciò avviene esattamente quando x>−xx > -x, cioè quando x>0x > 0. Pertanto il seno iperbolico è negativo se x<0x < 0, nullo in 00 e positivo se x>0x > 0; la tangente iperbolica, quoziente del seno per un numero positivo, ha lo stesso segno. Il coseno iperbolico, invece, è sempre positivo, e vale qualcosa di più.

LemmaMinorante del coseno iperbolico

Per ogni reale xx vale cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Di conseguenza, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, e l’uguaglianza si ha solo quando x=0x = 0.

L’idea è riconoscere nel numeratore di cosh⁡x−1\cosh x - 1 il quadrato di una differenza. La figura mostra il grafico del coseno iperbolico al di sopra della retta y=1y = 1, con la differenza tra i due come un segmento verticale.

Dimostrazione

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    Per le proprietà delle potenze, exe^x è il quadrato di ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} è quello di e−x2e^{-\frac{x}{2}}, e il prodotto di queste due potenze è e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Pertanto il numeratore di cosh⁡x−1\cosh x - 1 è il quadrato di una differenza, e tale differenza è il doppio di sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Un quadrato non è negativo: il coseno iperbolico è almeno 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    L’uguaglianza richiede che la base del quadrato sia nulla, cioè ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}; poiché l’esponenziale è iniettiva, ciò richiede x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, ossia x=0x = 0.

La disuguaglianza cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 è la disuguaglianza tra la media aritmetica e la media geometrica dei numeri positivi exe^x e e−xe^{-x}, la cui media geometrica è 11.