Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Modelli di crescita e decadimento esponenziale

Riepilogo

Questa lezione applica le funzioni esponenziale e logaritmo alla descrizione di grandezze che variano nella stessa proporzione in periodi uguali. Studia la crescita discreta a tasso costante e il modello continuo P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, dimostra che in quest’ultimo il tempo di raddoppio e il tempo di dimezzamento non dipendono dall’istante in cui si misurano, e applica il risultato al decadimento radioattivo, alla datazione al carbonio 14 e alla legge di raffreddamento di Newton. Insegna poi a determinare i parametri di un modello a partire da due dati, dimostra che i dati esponenziali si allineano in un grafico semilogaritmico e termina con il modello logistico, la cui crescita è limitata e il cui grafico è simmetrico rispetto al suo punto medio.

Obiettivi di apprendimento

  1. Riconoscere i modelli di crescita e di decadimento discreti e continui, e mettere in relazione il tasso di variazione per periodo con la costante del modello.
  2. Calcolare e usare il tempo di raddoppio e il tempo di dimezzamento, e applicarli al decadimento radioattivo, alla datazione al carbonio 14 e al raffreddamento di un corpo.
  3. Determinare i parametri di un modello esponenziale a partire da due dati e riconoscere dati esponenziali in un grafico semilogaritmico.
  4. Studiare il modello logistico: la sua limitatezza, la sua monotonia e la simmetria del suo grafico rispetto al punto in cui raggiunge la metà del suo maggiorante.

Crescita a tasso costante

Una grandezza può aumentare in due modi elementari. Se a ogni periodo le si somma una stessa quantità, i suoi valori formano una progressione aritmetica e il suo grafico è una retta; così cresce un capitale a interesse semplice, che ogni anno riceve lo stesso interesse. Se invece a ogni periodo si moltiplica per uno stesso fattore, i suoi valori formano una progressione geometrica; così cresce un capitale a interesse composto, il cui interesse di ogni anno si calcola sul capitale accumulato, e così cresce una popolazione di batteri in cui ogni cellula si divide in un tempo fisso. Entrambe le progressioni sono state studiate nella lezione sulle sommatorie, progressioni e induzione; questa lezione si occupa della seconda e della sua versione continua.

Siano P0>0P_0 > 0 il valore iniziale di una grandezza e PnP_n il suo valore dopo nn periodi. Si dice che la grandezza varia a tasso costante rr per periodo, con r>−1r > -1, quando ogni valore si ottiene da quello che lo precede moltiplicandolo per 1+r1 + r, cioè quando il quoziente tra due valori consecutivi è sempre lo stesso:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

Il numero rr si esprime di solito in percentuale: una popolazione che aumenta del 33 per cento all’anno ha r=3100r = \frac{3}{100}, e una sostanza che perde un quinto della sua massa ogni ora ha r=−15r = -\frac{1}{5}. Se r>0r > 0 si parla di crescita; se −1<r<0-1 < r < 0, di decadimento.

LemmaCrescita a tasso costante

Se Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n per ogni nn, con P0>0P_0 > 0 e r>−1r > -1, allora Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n per ogni naturale nn. Tutti i valori sono positivi; la successione è strettamente crescente se r>0r > 0 e strettamente decrescente se −1<r<0-1 < r < 0.

La formula è il termine generale di una progressione geometrica di ragione 1+r1 + r, e si dimostra per induzione. La figura mostra i primi valori con P0=1P_0 = 1, prima con r=12r = \frac{1}{2} e poi con r=−12r = -\frac{1}{2}.

Dimostrazione

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Per n=1n = 1, la formula è l’ipotesi applicata a P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Se la formula vale per nn, l’ipotesi la dà per n+1n + 1; per il principio di induzione, vale per ogni naturale.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Poiché P0P_0 e 1+r1 + r sono positivi, lo sono anche tutte le loro potenze e i loro prodotti: tutti i valori sono positivi.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    La differenza tra due valori consecutivi è rPnr P_n, che ha il segno di rr: la successione cresce se r>0r > 0 e decresce se −1<r<0-1 < r < 0.

Per esempio, un capitale di 10001000 al 55 per cento annuo composto diventa dopo tre anni

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

cioè 1157,625, mentre a interesse semplice diventerebbe 11501150. La differenza, piccola all’inizio, cresce senza limitazioni con il numero di anni; il problema risolto 2 dimostra che, dal secondo anno in poi, l’interesse composto supera sempre quello semplice, e lo studio sistematico dei capitali e dei tassi d’interesse è materia del corso di Matematica Finanziaria.