Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Modelos de crescimento e decaimento exponencial

Resumo

Esta aula aplica as funções exponencial e logarítmica à descrição de grandezas que variam na mesma proporção em períodos iguais. Estuda o crescimento discreto a taxa constante e o modelo contínuo P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, demonstra que neste último o tempo de duplicação e a meia-vida não dependem do instante em que se medem, e aplica o resultado ao decaimento radioativo, à datação por carbono 14 e à lei do resfriamento de Newton. Ensina depois a determinar os parâmetros de um modelo a partir de dois dados, demonstra que os dados exponenciais se alinham em um gráfico semilogarítmico e termina com o modelo logístico, cujo crescimento é limitado e cujo gráfico é simétrico em relação ao seu ponto médio.

Objetivos de aprendizagem

  1. Reconhecer os modelos de crescimento e decaimento discreto e contínuo, e relacionar a taxa de variação por período com a constante do modelo.
  2. Calcular e empregar o tempo de duplicação e a meia-vida, e aplicá-los ao decaimento radioativo, à datação por carbono 14 e ao resfriamento de um corpo.
  3. Determinar os parâmetros de um modelo exponencial a partir de dois dados e reconhecer dados exponenciais em um gráfico semilogarítmico.
  4. Estudar o modelo logístico: sua limitação, sua monotonia e a simetria de seu gráfico em relação ao ponto em que atinge a metade de sua cota.

Crescimento a taxa constante

Uma grandeza pode aumentar de duas maneiras elementares. Se em cada período se soma a ela uma mesma quantidade, seus valores formam uma progressão aritmética e seu gráfico é uma reta; assim cresce um capital a juros simples, que a cada ano recebe os mesmos juros. Se, ao contrário, em cada período ela se multiplica por um mesmo fator, seus valores formam uma progressão geométrica; assim cresce um capital a juros compostos, cujos juros de cada ano se calculam sobre o capital acumulado, e assim cresce uma população de bactérias em que cada célula se divide em um tempo fixo. Ambas as progressões foram estudadas na aula sobre somatórios, progressões e indução; esta aula se ocupa da segunda e de sua versão contínua.

Seja P0>0P_0 > 0 o valor inicial de uma grandeza e PnP_n seu valor ao fim de nn períodos. Diz-se que a grandeza varia a uma taxa constante rr por período, com r>−1r > -1, quando cada valor se obtém do que o precede multiplicando-o por 1+r1 + r, isto é, quando o quociente entre dois valores consecutivos é sempre o mesmo:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

O número rr costuma ser expresso em porcentagem: uma população que aumenta 33 por cento ao ano tem r=3100r = \frac{3}{100}, e uma substância que perde um quinto de sua massa a cada hora tem r=−15r = -\frac{1}{5}. Se r>0r > 0, fala-se de crescimento; se −1<r<0-1 < r < 0, de decaimento.

LemaCrescimento a taxa constante

Se Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n para todo nn, com P0>0P_0 > 0 e r>−1r > -1, então Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n para todo natural nn. Todos os valores são positivos; a sequência é estritamente crescente se r>0r > 0 e estritamente decrescente se −1<r<0-1 < r < 0.

A fórmula é o termo geral de uma progressão geométrica de razão 1+r1 + r, e se demonstra por indução. A figura mostra os primeiros valores com P0=1P_0 = 1, primeiro com r=12r = \frac{1}{2} e depois com r=−12r = -\frac{1}{2}.

Demonstração

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Para n=1n = 1, a fórmula é a hipótese aplicada a P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Se a fórmula vale para nn, a hipótese a dá para n+1n + 1; pelo princípio de indução, vale para todo natural.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Como P0P_0 e 1+r1 + r são positivos, todas as suas potências e produtos também o são: todos os valores são positivos.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    A diferença entre dois valores consecutivos é rPnr P_n, que tem o sinal de rr: a sequência cresce se r>0r > 0 e decresce se −1<r<0-1 < r < 0.

Por exemplo, um capital de 10001000 a 55 por cento ao ano, a juros compostos, converte-se ao fim de três anos em

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

isto é, em 1157,625, enquanto a juros simples se converteria em 11501150. A diferença, pequena no começo, cresce ilimitadamente com o número de anos; o problema resolvido 2 demonstra que, a partir do segundo ano, os juros compostos superam sempre os simples, e o estudo sistemático dos capitais e das taxas de juros é matéria do curso de Matemática Financeira.