指数增长与指数衰减的模型

摘要

本课把指数函数和对数函数用于描述在相等的时段内按同一比例变化的量。本课研究按常数比的离散增长和连续模型 $P(t) = P_0 e^{kt}$ ，证明在后者中倍增时间和半衰期与测量的时刻无关，并把这一结果用于放射性衰变、碳 14 测年和牛顿冷却定律。随后本课讲授如何由两个数据确定模型的参数，证明指数型数据在半对数图上排成一条直线，最后讨论逻辑斯谛模型：它的增长是有界的，它的图像关于其中点对称。

学习目标

认识离散与连续的增长模型和衰减模型，并把每个时段的变化率与模型的常数联系起来。
计算并运用倍增时间和半衰期，把它们用于放射性衰变、碳 14 测年和物体的冷却。
由两个数据确定指数模型的参数，并在半对数图上识别指数型数据。
研究逻辑斯谛模型：它的有界性、它的单调性，以及它的图像关于达到其界的一半之点的对称性。

按常数比增长

一个量可以按两种基本方式增加。如果每个时段给它加上同一个数量，它的值构成等差数列，它的图像是一条直线；按单利计息的本金就是这样增长的，它每年得到相同的利息。反之，如果每个时段它乘以同一个因子，它的值构成等比数列；按复利计息的本金就是这样增长的，其每年的利息按累积的本金计算；每个细胞在固定时间内分裂一次的细菌种群也是这样增长的。这两种数列都在求和、数列与归纳法一课中学习过；本课讨论第二种及其连续形式。

设 $P_0 > 0$ 为某个量的初始值， $P_n$ 为它经过 $n$ 个时段后的值。称该量以常数比 $r$ （每个时段，其中 $r > -1$ ）变化，是指每个值都由前一个值乘以 $1 + r$ 得到，也就是说，相邻两个值的商总是相同：

\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

数 $r$ 通常用百分数表示：每年增加百分之 $3$ 的种群有 $r = \frac{3}{100}$ ，每小时失去其质量五分之一的物质有 $r = -\frac{1}{5}$ 。若 $r > 0$ ，称为增长；若 $-1 < r < 0$ ，称为衰减。

引理按常数比增长

若 $P_{n + 1} = (1 + r) P_n$ 对所有 $n$ 成立，其中 $P_0 > 0$ 且 $r > -1$ ，则 $P_n = P_0 (1 + r)^n$ 对所有自然数 $n$ 成立。所有的值都是正的；若 $r > 0$ ，数列严格递增；若 $-1 < r < 0$ ，数列严格递减。

该公式是公比为 $1 + r$ 的等比数列的通项，用归纳法证明。图中显示 $P_0 = 1$ 时的前几个值，先取 $r = \frac{1}{2}$ ，再取 $r = -\frac{1}{2}$ 。

证明

$P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}$
当 $n = 1$ 时，公式就是把假设用于 $P_0$ 的结果。
$P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}$
若公式对 $n$ 成立，则假设给出它对 $n + 1$ 也成立；由数学归纳原理，它对所有自然数成立。
$P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}$
由于 $P_0$ 和 $1 + r$ 都是正的，它们的所有幂和积也都是正的：所有的值都是正的。
$P_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}$
相邻两个值之差是 $r P_n$ ，它的符号与 $r$ 相同：若 $r > 0$ ，数列递增；若 $-1 < r < 0$ ，数列递减。

例如，本金 $1000$ 按年利率百分之 $5$ 复利计算，三年后变为

C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

即 1157.625，而按单利计算只变为 $1150$ 。这一差额起初很小，但随年数无界地增长；例题 2 证明，从第二年起，复利总是超过单利；而本金和利率的系统研究属于金融数学课程的内容。