双曲函数 · Topos Uranos

摘要

本课研究双曲余弦、双曲正弦和双曲正切，这三个函数由自然指数函数 $e^x$ 与其倒数 $e^{-x}$ 组合而得。本课确定它们的奇偶性、符号、单调性和值域，并证明恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ；根据这个恒等式，点 $\left( \cosh t, \sinh t \right)$ 沿双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 的右支运动，并且恰好一次经过其上每一点，它们的名称正由此而来。随后推导加法公式和二倍角公式，并求出反函数，它们可以用对数表示。最后描述悬链线，即悬挂的链条所呈现的形状，以及双曲扇形的面积，后者预示了与圆函数的类比。

学习目标

由自然指数函数定义双曲余弦、双曲正弦和双曲正切，并证明它们的奇偶性、符号、单调性及其界。
证明基本恒等式，并用它给出双曲线各支的参数表示，认识到一支上的每一点对应唯一的参数。
推导加法公式和二倍角公式，并将它们应用于恒等式和不等式的证明。
通过解关于 $e^y$ 的二次方程，求出反双曲函数及其定义域，并用它们解双曲函数方程。

定义与最初的性质

在关于数 e 与自然指数函数的课中定义了函数 $e^x$ ，它在整个实数轴上为正且严格递增。它的倒数 $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ 也为正，但严格递减，其图像是 $e^x$ 的图像关于 $y$ 轴的翻折，这依据关于函数的运算的课。这两个函数的和的一半与差的一半，以及它们的商，在几何、物理和微积分中出现得如此频繁，以至于各有专名。

对任意实数 $x$ ，把 $x$ 的双曲余弦、双曲正弦和双曲正切分别定义为 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 的和的一半、它们的差的一半，以及后者与前者之商。

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

这三个函数在整个 $\mathbb{R}$ 上都有定义：正切的分母是两个正数之和，永不为零。在 $x = 0$ 处有 $e^0 = 1$ ，因此 $\cosh 0 = 1$ 、 $\sinh 0 = 0$ 且 $\tanh 0 = 0$ 。形容词“双曲”将在第三节中得到说明，届时将看到这些函数描述一条双曲线。

引理奇偶性与指数函数的分解

双曲余弦是偶函数，双曲正弦和双曲正切是奇函数。此外，对任意实数 $x$ ，有 $e^x = \cosh x + \sinh x$ 和 $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ 。

把 $x$ 换成 $-x$ 时，函数 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 互换角色。图中画出双曲余弦和双曲正弦的图像，每条图像上各有两个横坐标互为相反数的点。

证明

$\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x$
把 $x$ 换成 $-x$ 时，和的一半不变，因为它的两个加数互换：双曲余弦是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称。
$\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x$
而差的一半则改变符号：双曲正弦是奇函数，其图像关于原点对称。
$\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x$
正切作为奇函数与偶函数之商，是奇函数。
$\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}$
把双曲余弦和双曲正弦的定义相加、相减，就得回两个指数函数： $\cosh x$ 和 $\sinh x$ 分别是指数函数的偶部和奇部。

例题双曲余弦和双曲正弦的图像

$\cosh$ 与 $\sinh$ 的图像，是在每个横坐标处把 $\frac{e^x}{2}$ 与 $\frac{e^{-x}}{2}$ 的纵坐标相加、相减而作出的。

证明

$y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{e^x}{2}$ 的图像由 $e^x$ 的图像沿竖直方向压缩为一半而得：它与 $y$ 轴交于 $\frac{1}{2}$ ，向右无界增长，向左趋近 $x$ 轴。
$y = \frac{e^{-x}}{2}$
$\frac{e^{-x}}{2}$ 的图像是刚才那条图像关于 $y$ 轴的翻折。
$\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}$
在每个横坐标处， $\cosh x$ 是两个纵坐标之和。在 $0$ 处两者都等于 $\frac{1}{2}$ ：图像经过 $(0, 1)$ ，并且关于 $y$ 轴对称，因为双曲余弦是偶函数。
$\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0$
双曲余弦比 $\frac{e^x}{2}$ 恰好大 $\frac{e^{-x}}{2}$ ，这是一个正的量，当 $x$ 增大时它可以任意小：向右， $\cosh$ 的图像从上方趋近 $\frac{e^x}{2}$ 的图像；向左，由对称性，趋近 $\frac{e^{-x}}{2}$ 的图像。
$\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}$
双曲正弦是两个纵坐标之差。它经过原点，其图像关于原点对称，因为双曲正弦是奇函数。
$\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0$
向右， $\sinh$ 的图像从下方趋近 $\frac{e^x}{2}$ 的图像，而 $\cosh$ 的图像则从上方趋近它：两者彼此靠近而永不相碰，因为它们的差为正。

双曲正弦的符号可从定义中读出： $\sinh x > 0$ 等价于 $e^x > e^{-x}$ ，而由于指数函数严格递增，这恰好在 $x > -x$ 时成立，即在 $x > 0$ 时成立。因此，双曲正弦当 $x < 0$ 时为负，在 $0$ 处为零，当 $x > 0$ 时为正；双曲正切作为正弦与一个正数之商，符号与之相同。双曲余弦则始终为正，而且还有更强的结论。

引理双曲余弦的下界

对任意实数 $x$ ，有 $\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}$ 。因此 $\cosh x \geq 1$ ，且等号仅当 $x = 0$ 时成立。

思路是在 $\cosh x - 1$ 的分子中认出一个差的平方。图中画出双曲余弦在直线 $y = 1$ 上方的图像，两者之差用一条竖直线段表示。

证明

$e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}$
由幂的运算法则， $e^x$ 是 $e^{\frac{x}{2}}$ 的平方， $e^{-x}$ 是 $e^{-\frac{x}{2}}$ 的平方，而这两个幂的积是 $e^0 = 1$ 。
$\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}$
因此， $\cosh x - 1$ 的分子是一个差的平方，而这个差是 $\sinh \frac{x}{2}$ 的两倍。
$\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0$
平方不是负数：双曲余弦至少为 $1$ 。
$\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}$
等号要求平方的底为零，即 $e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}$ ；由于指数函数是单射，这要求 $\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}$ ，即 $x = 0$ 。

不等式 $\cosh x \geq 1$ 就是正数 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 的算术平均与几何平均之间的不等式，它们的几何平均是 $1$ 。