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Topos Uranos
Français

Les fonctions hyperboliques

Résumé

Cette leçon étudie le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques, trois fonctions que l’on obtient en combinant la fonction exponentielle exe^x avec son inverse e−xe^{-x}. Elle détermine leur parité, leur signe, leur monotonie et leur ensemble image, et démontre l’identité cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, selon laquelle le point (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) parcourt la branche droite de l’hyperbole x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 et passe une seule fois par chacun de ses points, d’où vient leur nom. Elle déduit ensuite les formules d’addition et de duplication, et obtient les fonctions réciproques, qui s’expriment au moyen de logarithmes. Elle décrit enfin la chaînette, qui est la forme d’une chaîne suspendue, et l’aire du secteur hyperbolique, qui annonce l’analogie avec les fonctions circulaires.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques à partir de la fonction exponentielle, et démontrer leur parité, leur signe, leur monotonie et leurs bornes.
  2. Démontrer l’identité fondamentale et l’employer pour paramétrer les branches des hyperboles, en reconnaissant que chaque point d’une branche correspond à un unique paramètre.
  3. Déduire les formules d’addition et de duplication, et les appliquer à la démonstration d’identités et d’inégalités.
  4. Obtenir les fonctions hyperboliques réciproques avec leurs ensembles de définition, en résolvant des équations du second degré en eye^y, et les utiliser pour résoudre des équations hyperboliques.

Définition et premières propriétés

Dans la leçon sur le nombre e et la fonction exponentielle, on a défini la fonction exe^x, strictement positive et strictement croissante sur toute la droite réelle. Son inverse e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} est aussi strictement positif, mais strictement décroissant, et sa courbe est le reflet de celle de exe^x par rapport à l’axe des yy, d’après la leçon sur les opérations sur les fonctions. La demi-somme et la demi-différence de ces deux fonctions, ainsi que leur quotient, apparaissent si souvent en géométrie, en physique et en analyse qu’elles reçoivent un nom propre.

Pour tout nombre réel xx, on définit le cosinus hyperbolique, le sinus hyperbolique et la tangente hyperbolique de xx comme la demi-somme de exe^x et e−xe^{-x}, leur demi-différence et le quotient de la seconde par la première, respectivement.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Les trois fonctions sont définies sur tout R\mathbb{R} : le dénominateur de la tangente est une somme de deux nombres strictement positifs et ne s’annule jamais. En x=0x = 0 on a e0=1e^0 = 1, de sorte que cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 et tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. L’adjectif « hyperbolique » sera justifié dans la troisième section, où l’on verra que ces fonctions décrivent une hyperbole.

LemmeParité et décomposition de l’exponentielle

Le cosinus hyperbolique est une fonction paire, et le sinus et la tangente hyperboliques sont des fonctions impaires. De plus, pour tout réel xx, on a ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x et e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Lorsqu’on remplace xx par −x-x, les fonctions exe^x et e−xe^{-x} échangent leurs rôles. La figure montre les courbes du cosinus et du sinus hyperboliques avec deux points d’abscisses opposées sur chacune.

Démonstration

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Lorsqu’on remplace xx par −x-x, la demi-somme ne change pas, car ses deux termes s’échangent : le cosinus hyperbolique est pair, et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    La demi-différence, en revanche, change de signe : le sinus hyperbolique est impair, et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    La tangente, quotient d’une fonction impaire par une fonction paire, est impaire.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    En additionnant et en soustrayant les définitions du cosinus et du sinus hyperboliques, on retrouve les deux exponentielles : cosh⁡x\cosh x et sinh⁡x\sinh x sont, respectivement, la partie paire et la partie impaire de l’exponentielle.

ExempleLes courbes du cosinus et du sinus hyperboliques

Les courbes de cosh⁡\cosh et de sinh⁡\sinh se construisent en additionnant et en soustrayant, abscisse par abscisse, les ordonnées de ex2\frac{e^x}{2} et de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Démonstration

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    La courbe de ex2\frac{e^x}{2} s’obtient à partir de celle de exe^x en la comprimant verticalement de moitié : elle coupe l’axe des yy en 12\frac{1}{2}, croît sans être majorée vers la droite et s’approche de l’axe des xx vers la gauche.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    La courbe de e−x2\frac{e^{-x}}{2} est le reflet de la première par rapport à l’axe des yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    En chaque abscisse, cosh⁡x\cosh x est la somme des deux ordonnées. En 00 elles valent toutes deux 12\frac{1}{2} : la courbe passe par (0,1)(0, 1), et elle est symétrique par rapport à l’axe des yy, car le cosinus hyperbolique est pair.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    Le cosinus hyperbolique dépasse ex2\frac{e^x}{2} exactement de e−x2\frac{e^{-x}}{2}, quantité strictement positive qui devient aussi petite que l’on veut quand xx croît : vers la droite, la courbe de cosh⁡\cosh s’approche par-dessus de celle de ex2\frac{e^x}{2}, et vers la gauche, par symétrie, de celle de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    Le sinus hyperbolique est la différence des ordonnées. Sa courbe passe par l’origine et elle est symétrique par rapport à l’origine, car le sinus hyperbolique est impair.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Vers la droite, la courbe de sinh⁡\sinh s’approche par-dessous de celle de ex2\frac{e^x}{2}, tandis que celle de cosh⁡\cosh le fait par-dessus : les deux se rapprochent l’une de l’autre sans jamais se toucher, car leur différence est strictement positive.

Le signe du sinus hyperbolique se lit sur sa définition : sinh⁡x>0\sinh x > 0 équivaut à ex>e−xe^x > e^{-x}, et comme l’exponentielle est strictement croissante, cela se produit exactement lorsque x>−xx > -x, c’est-à-dire lorsque x>0x > 0. Par conséquent, le sinus hyperbolique est strictement négatif si x<0x < 0, nul en 00 et strictement positif si x>0x > 0 ; la tangente hyperbolique, quotient du sinus par un nombre strictement positif, a le même signe. Le cosinus hyperbolique, en revanche, est toujours strictement positif, et l’on a même davantage.

LemmeMinorant du cosinus hyperbolique

Pour tout réel xx, on a cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Par conséquent, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, et l’égalité n’a lieu que lorsque x=0x = 0.

L’idée est de reconnaître dans le numérateur de cosh⁡x−1\cosh x - 1 le carré d’une différence. La figure montre la courbe du cosinus hyperbolique au-dessus de la droite y=1y = 1, avec la différence entre les deux comme un segment vertical.

Démonstration

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    D’après les règles de calcul sur les puissances, exe^x est le carré de ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} est celui de e−x2e^{-\frac{x}{2}}, et le produit de ces deux puissances est e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Par conséquent, le numérateur de cosh⁡x−1\cosh x - 1 est le carré d’une différence, et cette différence est le double de sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Un carré est positif ou nul : le cosinus hyperbolique est supérieur ou égal à 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    L’égalité exige que la base du carré soit nulle, c’est-à-dire ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} ; comme l’exponentielle est injective, cela exige x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, soit x=0x = 0.

L’inégalité cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 est l’inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres strictement positifs exe^x et e−xe^{-x}, dont la moyenne géométrique vaut 11.