Fonctions exponentielles et hyperboliques : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques, qui est la dernière du cours. Elle en réunit les résultats en une seule chaîne déductive, qui part de la complétude des réels et aboutit au paramétrage de l’hyperbole ; elle montre comment cette chaîne s’appuie sur les unités antérieures du cours, de la récurrence et du binôme de Newton jusqu’à l’équation de l’hyperbole, et comment elle prépare le cours d’Algèbre et géométrie II, qui commence par les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires. Elle se termine par dix défis, plus difficiles que les problèmes proposés dans les leçons, qui exigent d’en combiner plusieurs et de trouver une idée personnelle.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire la chaîne des définitions et des théorèmes de l’unité, en identifiant dans chaque maillon le résultat antérieur dont il dépend.
Relier les résultats de l’unité à ceux des unités antérieures et anticiper leur rôle dans les fonctions trigonométriques du cours d’Algèbre et géométrie II.
Résoudre des problèmes qui combinent la monotonie des fonctions exponentielles, les règles de calcul des logarithmes, l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ et les formules d’addition hyperboliques.
Choisir par soi-même la substitution, l’inégalité ou la fonction auxiliaire qui ramène un problème non routinier à un problème connu.

L’acquis de l’unité

L’unité est partie d’un manque : à la fin de l’unité sur les ensembles de nombres, la puissance $a^x$ avait un sens pour $x$ rationnel, mais pas pour $x = \sqrt{2}$ . Son résultat final est une famille de fonctions définies sur toute la droite, avec des règles algébriques complètes, des réciproques explicites et une interprétation géométrique. Voici les maillons de la chaîne.

La puissance à exposant réel

La leçon sur la fonction exponentielle et les puissances à exposant réel a défini $a^x$ , pour $a > 1$ , comme la borne supérieure des puissances $a^r$ avec $r$ rationnel et $r \leq x$ . La complétude a garanti l’existence de la borne supérieure ; la densité des rationnels a donné l’encadrement $a^r < a^x < a^s$ pour $r < x < s$ , et avec lui la stricte monotonie ; l’inégalité de Bernoulli a majoré la longueur des intervalles d’encadrement et a permis de démontrer, avec la propriété d’Archimède, les règles de calcul sur les puissances, la dernière d’entre elles cas par cas selon la base et le signe de l’exposant :

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Grâce à ces règles, les fonctions exponentielles se sont révélées strictement positives, injectives et strictement monotones ; un nouvel argument de bornes supérieures, avec l’inégalité de Bernoulli, a démontré qu’elles prennent toutes les valeurs strictement positives, de sorte que chacune est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\ioo{0}{\infty}$ ; et l’on a démontré qu’elles finissent par dépasser les carrés.

Le nombre e

La leçon sur le nombre e et la fonction exponentielle a choisi une base privilégiée. Avec le binôme de Newton et l’inégalité de Bernoulli, elle a démontré que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ croît et que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ décroît, et elle a défini $e$ comme le nombre que les deux suites encadrent ; elle a démontré qu’il est aussi la borne supérieure des sommes des inverses des factorielles, avec une erreur strictement inférieure à $\frac{1}{n! \, n}$ , et qu’il est irrationnel, et, avec l’inégalité fondamentale et la puissance d’une puissance, elle a démontré que la borne supérieure des capitaux $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ est $e^r$ , sans recourir à la notion de limite. Le résultat le plus fécond de la leçon est l’inégalité fondamentale, valable pour tout réel $x$ , avec égalité seulement en $x = 0$ , qui réapparaît dans presque toutes les démonstrations ultérieures :

e^x \geq 1 + x

Le logarithme et les équations

La leçon sur la fonction logarithme a obtenu $\log_a$ comme la réciproque de l’exponentielle de même base et a traduit chaque règle de calcul sur les puissances en une règle de calcul des logarithmes ; le changement de base a montré que tous les logarithmes sont des multiples d’un seul, et le lemme d’Euclide a démontré que $\log_2 3$ est irrationnel. La leçon sur les équations et inéquations exponentielles et logarithmiques a converti deux propriétés de ces fonctions en méthodes : l’injectivité permet d’égaler exposants et arguments, et la monotonie conserve ou renverse les inégalités selon la base. Les difficultés propres à ces problèmes, l’ensemble de définition, les solutions parasites et les valeurs négatives ou nulles de la variable auxiliaire, viennent toutes de ce qu’une exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Un seul résultat de cette leçon repose sur quelque chose que l’unité ne démontre pas : l’existence de la solution d’une équation sans méthode algébrique, comme $x + 2^x = 5$ , s’appuie sur le théorème des valeurs intermédiaires, admis dans la leçon sur les fonctions rationnelles, et sur la continuité des fonctions exponentielles, qui est admise dans la leçon sur la puissance à exposant réel ; la démonstration de ces deux faits relève de l’analyse. Son unicité, en revanche, et la dichotomie qui la localise, se déduisent de l’ordre.

Les modèles et les fonctions hyperboliques

La leçon sur les modèles de croissance et de décroissance a démontré que la loi $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ caractérise le modèle $P_0 e^{kt}$ , et que, par conséquent, toute grandeur monotone qui varie dans la même proportion sur des intervalles égaux est exponentielle ; de là le temps de doublement et la demi-vie, la datation au carbone 14, la loi de Newton, la linéarisation semi-logarithmique et le modèle logistique. Enfin, la leçon sur les fonctions hyperboliques a combiné $e^x$ et $e^{-x}$ dans le cosinus et le sinus hyperboliques, dont l’identité fondamentale est une conséquence directe de la règle de calcul sur les puissances :

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

D’elle ont découlé le paramétrage de la branche droite de l’hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ , dont le paramètre se retrouve avec un logarithme, les formules d’addition et les fonctions réciproques, qui s’expriment avec des logarithmes en résolvant des équations du second degré en $e^y$ . La chaîne se referme ainsi sur elle-même : l’exponentielle produit les fonctions hyperboliques, et le logarithme en fournit les réciproques.

La figure ci-dessous réunit les quatre tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis sans démonstration ou proviennent d’unités antérieures, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AComplétude. Toute partie non vide de l’ensemble des réels qui est majorée admet une borne supérieure ; elle a été énoncée dans l’unité sur les ensembles de nombres. Admis sans démonstration dans cette unité.
BDensité et propriété d’Archimède. Entre deux réels distincts il y a toujours un rationnel, et tout réel est dépassé par un entier naturel ; démontrées dans l’unité sur les ensembles de nombres. Admis sans démonstration dans cette unité.
CInégalité de Bernoulli. Si $x \geq -1$ et si $n$ est un entier naturel, alors $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ; démontrée par récurrence dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
DFormule du binôme de Newton. Pour tout entier naturel $n$ , on a $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ; démontrée dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
ELemme d’Euclide. Si un nombre premier divise un produit d’entiers naturels, il divise l’un des facteurs ; démontré dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
FRègles de calcul sur les puissances. Pour $a > 0$ , $b > 0$ et $x$ , $y$ réels, on a $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ et $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . Établi dans: 3. Règles de calcul sur les puissances à exposant réel.
GMonotonie des fonctions exponentielles. Si $a > 1$ , pour des réels $u$ et $v$ on a $u < v$ si et seulement si $a^u < a^v$ ; avec une base comprise entre $0$ et $1$ , l’inégalité change de sens. Établi dans: 2. Encadrement et monotonie.
HLe logarithme comme réciproque. Pour $x > 0$ , $\log_a x = y$ si et seulement si $a^y = x$ ; d’où $a^{\log_a x} = x$ et $\log_a \left( a^y \right) = y$ . Établi dans: 15. Logarithme.

Tronçon 1 La puissance à exposant réel
- Définir $a^x$ pour tout exposant réel comme borne supérieure de puissances rationnelles et justifier qu’elle prolonge la définition antérieure.
- Encadrer $a^x$ entre des puissances rationnelles et en déduire la stricte monotonie.
- Démontrer les règles de calcul sur les puissances à exposant réel, y compris la puissance d’une puissance, avec des encadrements dont l’inégalité de Bernoulli majore la longueur.
- Décrire les fonctions exponentielles : ensemble de définition, signe, injectivité, croissance non majorée et asymptote horizontale.
- Démontrer avec la complétude et l’inégalité de Bernoulli qu’une exponentielle prend toutes les valeurs strictement positives.
1. Puissance à exposant réel. Si $a > 1$ , la puissance $a^x$ est la borne supérieure des puissances $a^r$ avec $r$ rationnel et $r \leq x$ ; la borne supérieure existe et, si $x$ est rationnel, elle coïncide avec la puissance déjà connue.
  Repose sur: A (Complétude), B (Densité et propriété d’Archimède). Démontré dans: La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
2. Encadrement et monotonie. Si $a > 1$ et si $r$ , $s$ sont des rationnels avec $r < x < s$ , alors $a^r < a^x < a^s$ . Par conséquent, si $x < y$ , alors $a^x < a^y$ lorsque $a > 1$ et $a^x > a^y$ lorsque $0 < a < 1$ ; de plus, $a^x > 0$ pour toute base strictement positive.
  Utilise: 1. Puissance à exposant réel. Repose sur: B (Densité et propriété d’Archimède). Démontré dans: La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
3. Règles de calcul sur les puissances à exposant réel. Pour $a > 0$ , $b > 0$ et $x$ , $y$ réels, on a $a^{x + y} = a^x a^y$ et $(ab)^x = a^x b^x$ ; avec la première, l’unicité de la racine principale et un nouvel encadrement, on a aussi $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ , dans tous les cas de signe.
  Utilise: 2. Encadrement et monotonie. Repose sur: B (Densité et propriété d’Archimède), C (Inégalité de Bernoulli). Démontré dans: La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
4. Fonctions exponentielles. Si $a > 0$ et $a \neq 1$ , la fonction $a^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ , strictement positive et injective ; si $a > 1$ , elle croît, dépasse tout majorant et s’approche de $0$ vers la gauche, et la courbe de $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ est son reflet par rapport à l’axe des $y$ .
  Utilise: 1. Puissance à exposant réel. Repose sur: C (Inégalité de Bernoulli), G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
5. Ensemble image des fonctions exponentielles. Si $a > 0$ et $a \neq 1$ , pour tout $y > 0$ il existe un unique réel $x$ tel que $a^x = y$ : si $a > 1$ , c’est la borne supérieure des rationnels $r$ tels que $a^r < y$ . Chaque fonction exponentielle est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\ioo{0}{\infty}$ .
  Utilise: 4. Fonctions exponentielles. Repose sur: A (Complétude), B (Densité et propriété d’Archimède), C (Inégalité de Bernoulli), F (Règles de calcul sur les puissances), G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: La fonction exponentielle et les puissances à exposant réel.
Tronçon 2 Le nombre e
- Démontrer avec le binôme de Newton et l’inégalité de Bernoulli que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ croît et que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ décroît, et la majorer avec l’inégalité $k! \geq 2^{k - 1}$ , démontrée par récurrence.
- Définir $e$ comme le nombre que les deux suites encadrent.
- Démontrer que $e$ est la borne supérieure des sommes des inverses des factorielles, majorer l’erreur et en déduire que $e$ est irrationnel.
- Démontrer l’inégalité fondamentale $e^x \geq 1 + x$ et, grâce à elle, que la borne supérieure des capitaux $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ est $e^r$ .
1. Croissance de la suite. La suite $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ est strictement croissante.
  Repose sur: D (Formule du binôme de Newton). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
2. Factorielles et puissances de deux. Pour tout entier naturel $k$ , on a $k! \geq 2^{k - 1}$ , avec égalité seulement si $k = 1$ ou $k = 2$ ; on le démontre par récurrence.
  Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
3. Majoration de la suite. Pour tout entier naturel $n$ , on a $a_n \leq s_n < 3$ , où $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : chaque terme de $s_n$ est majoré par un terme d’une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
  Utilise: 7. Factorielles et puissances de deux. Repose sur: D (Formule du binôme de Newton). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
4. Suite associée. La suite $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ est strictement décroissante.
  Repose sur: C (Inégalité de Bernoulli). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
5. Le nombre e. Le nombre $e$ , borne supérieure des termes $a_n$ , vérifie $a_n < e < b_n$ pour tout entier naturel $n$ .
  Utilise: 6. Croissance de la suite, 8. Majoration de la suite, 9. Suite associée. Repose sur: A (Complétude). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
6. Série du nombre e et son erreur. La borne supérieure des sommes $s_n$ est $e$ , et pour tout entier naturel $n$ on a $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  Utilise: 8. Majoration de la suite, 10. Le nombre e. Repose sur: A (Complétude), B (Densité et propriété d’Archimède), C (Inégalité de Bernoulli). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
7. Irrationalité de e. Le nombre $e$ est irrationnel.
  Utilise: 11. Série du nombre e et son erreur. Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
8. Inégalité fondamentale. Pour tout réel $x$ , on a $e^x \geq 1 + x$ , et l’égalité n’a lieu qu’en $x = 0$ .
  Utilise: 10. Le nombre e. Repose sur: B (Densité et propriété d’Archimède), C (Inégalité de Bernoulli), F (Règles de calcul sur les puissances), G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
9. Capitalisation continue. Si $r > 0$ , les capitaux $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ croissent avec $n$ , aucun n’atteint $e^r$ et leur borne supérieure est $e^r$ ; pour $t > 0$ , la borne supérieure des nombres $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ est $e^{rt}$ .
  Utilise: 1. Puissance à exposant réel, 6. Croissance de la suite, 10. Le nombre e, 13. Inégalité fondamentale. Repose sur: D (Formule du binôme de Newton), F (Règles de calcul sur les puissances), G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: Le nombre e et la fonction exponentielle.
Tronçon 3 Le logarithme et les équations
- Obtenir $\log_a$ comme la réciproque de l’exponentielle de même base et traduire chaque règle de calcul sur les puissances en une règle de calcul des logarithmes.
- Ramener tous les logarithmes à un seul au moyen du changement de base, et étudier leur monotonie et leur signe.
- Démontrer avec le lemme d’Euclide que $\log_2 3$ est irrationnel.
- Convertir l’injectivité et la monotonie en méthodes pour résoudre des équations et des inéquations.
1. Logarithme. Comme l’exponentielle de base $a$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\ioo{0}{\infty}$ , pour tout $x > 0$ le nombre $\log_a x$ est l’unique réel $y$ tel que $a^y = x$ , et la fonction $\log_a$ est sa réciproque.
  Utilise: 5. Ensemble image des fonctions exponentielles. Démontré dans: La fonction logarithme et ses propriétés.
2. Règles de calcul des logarithmes. Pour $x$ , $y$ strictement positifs et $r$ réel, on a $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ et $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances), H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: La fonction logarithme et ses propriétés.
3. Changement de base. On a $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; tout logarithme est le logarithme népérien divisé par une constante, et $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  Utilise: 16. Règles de calcul des logarithmes. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: La fonction logarithme et ses propriétés.
4. Monotonie et signe du logarithme. La fonction $\log_a$ est strictement croissante si $a > 1$ et strictement décroissante si $0 < a < 1$ , et $\log_a x > 0$ si et seulement si $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  Repose sur: G (Monotonie des fonctions exponentielles), H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: La fonction logarithme et ses propriétés.
5. Logarithmes irrationnels. Si $a$ et $b$ sont des entiers naturels premiers entre eux strictement supérieurs à $1$ , le nombre $\log_a b$ est irrationnel ; en particulier, $\log_2 3$ l’est.
  Utilise: 18. Monotonie et signe du logarithme. Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances), H (Le logarithme comme réciproque), E (Lemme d’Euclide). Démontré dans: La fonction logarithme et ses propriétés.
6. Injectivité et équations. On a $a^u = a^v$ si et seulement si $u = v$ , et $\log_a u = \log_a v$ si et seulement si $u = v$ ; l’équation $a^x = c$ a pour unique solution $\log_a c$ si $c > 0$ , et n’en a aucune si $c \leq 0$ .
  Utilise: 4. Fonctions exponentielles. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
7. Monotonie et inéquations. Si $a > 1$ , on a $a^u < a^v$ si et seulement si $u < v$ , et $\log_a u < \log_a v$ si et seulement si $u < v$ ; si $0 < a < 1$ , les équivalences valent avec le sens contraire.
  Utilise: 18. Monotonie et signe du logarithme. Repose sur: G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: Équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
Tronçon 4 Les modèles et les fonctions hyperboliques
- Caractériser le modèle $P_0 e^{kt}$ par son taux constant sur des intervalles égaux et obtenir le temps de doublement et la demi-vie.
- Linéariser les données exponentielles dans le plan semi-logarithmique et étudier le modèle logistique.
- Définir le cosinus et le sinus hyperboliques à partir de $e^x$ et $e^{-x}$ , et étudier leur monotonie.
- Démontrer l’identité fondamentale, paramétrer la branche droite de l’hyperbole, et obtenir les formules d’addition et les fonctions réciproques.
1. Taux constant. Si $P(t) = P_0 e^{kt}$ avec $P_0 > 0$ , alors $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ pour tous les réels $t$ et $h$ ; aux instants entiers, c’est le modèle discret avec $k = \ln(1 + r)$ , et la fonction croît si $k > 0$ et décroît si $k < 0$ .
  Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances), G (Monotonie des fonctions exponentielles), H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
2. Réciproque du taux constant. Si $P$ est strictement positive et monotone et si le quotient $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ ne dépend que de $h$ , alors $P(t) = P_0 e^{kt}$ pour un certain réel $k$ : l’équation $f(t + h) = f(t) f(h)$ et la monotonie déterminent l’exponentielle.
  Utilise: 2. Encadrement et monotonie. Repose sur: B (Densité et propriété d’Archimède), F (Règles de calcul sur les puissances), H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
3. Doublement et demi-vie. Si $k > 0$ , le modèle $P_0 e^{kt}$ double sur tout intervalle de durée $T = \frac{\ln 2}{k}$ , et seulement sur ceux-là ; si $k = -\lambda < 0$ , il est divisé par deux sur tout intervalle de durée $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  Utilise: 22. Taux constant, 20. Injectivité et équations. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
4. Linéarisation semi-logarithmique. Un point $(t, y)$ avec $y > 0$ est sur la courbe de $y = C e^{kt}$ si et seulement si $(t, \ln y)$ est sur la droite $Y = \ln C + kt$ ; par deux points d’abscisses distinctes passe une unique courbe de cette forme.
  Utilise: 16. Règles de calcul des logarithmes. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
5. Modèle logistique. La fonction $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ , avec $K$ , $A$ et $r$ strictement positifs, croît strictement entre $0$ et $K$ , atteint $\frac{K}{2}$ en $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ et sa courbe est symétrique par rapport à ce point.
  Utilise: 4. Fonctions exponentielles. Repose sur: G (Monotonie des fonctions exponentielles), H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Modèles de croissance et de décroissance exponentielles.
6. Fonctions hyperboliques. Avec $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , le cosinus hyperbolique est pair, le sinus est impair, et $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  Utilise: 4. Fonctions exponentielles. Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.
7. Monotonie hyperbolique. Le sinus et la tangente hyperboliques sont strictement croissants, avec $-1 < \tanh x < 1$ ; le cosinus hyperbolique décroît pour $x \leq 0$ , croît pour $x \geq 0$ et son minimum est $\cosh 0 = 1$ .
  Utilise: 27. Fonctions hyperboliques. Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances), G (Monotonie des fonctions exponentielles). Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.
8. Identité fondamentale. Pour tout réel $x$ , on a $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  Utilise: 27. Fonctions hyperboliques. Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances). Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.
9. Paramétrage de l’hyperbole. L’application $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur la branche droite de $x^2 - y^2 = 1$ , et sa réciproque associe au point $(x, y)$ le nombre $\ln(x + y)$ .
  Utilise: 20. Injectivité et équations, 27. Fonctions hyperboliques, 28. Monotonie hyperbolique, 29. Identité fondamentale. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.
10. Formules d’addition. On a $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ et $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  Utilise: 27. Fonctions hyperboliques. Repose sur: F (Règles de calcul sur les puissances). Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.
11. Fonctions hyperboliques réciproques. On a $\operatorname{argsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{argcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ pour $x \geq 1$ , et $\operatorname{argtanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ pour $-1 < x < 1$ .
  Utilise: 28. Monotonie hyperbolique. Repose sur: H (Le logarithme comme réciproque). Démontré dans: Les fonctions hyperboliques.

Vers les fonctions trigonométriques. La chaîne se referme sur elle-même : l’exponentielle produit les fonctions hyperboliques, et le logarithme en fournit les réciproques. Le prochain cours fera avec le cercle $x^2 + y^2 = 1$ ce que cette unité a fait avec l’hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ .