指数函数、对数函数与双曲函数：总结与挑战

摘要

本课结束关于指数函数、对数函数和双曲函数的单元，这是本课程的最后一个单元。它把本单元的结果汇成一条演绎链，这条链从实数的完备性出发，一直到达双曲线的参数表示；说明这条链如何依托本课程前面各单元，从归纳法和二项式定理直到双曲线的方程，又如何为以三角函数和极坐标开篇的课程《代数与几何 II》作准备。最后给出十道挑战题，难度高于各课中的习题，需要综合其中好几课的内容并找到自己的思路。

学习目标

重建本单元的定义与定理之链，在每一环指出它所依赖的前面的结果。
把本单元的结果与前面各单元的结果联系起来，并预见它们在课程《代数与几何 II》的三角函数中的作用。
解决综合运用指数函数的单调性、对数运算法则、不等式 $e^x \geq 1 + x$ 以及双曲加法公式的问题。
自主选择能把非常规问题化为已知问题的代换、不等式或辅助函数。

本单元的收获

本单元从一个缺口出发：在关于数集的单元结束时，幂 $a^x$ 在 $x$ 为有理数时有意义，但在 $x = \sqrt{2}$ 时没有意义。它的最终结果是一族定义在整条直线上的函数，具有完整的代数法则、明确的反函数和几何解释。链的各环如下。

实数指数幂

关于指数函数与实数指数幂的那一课，把 $a^x$ （其中 $a > 1$ ）定义为幂 $a^r$ 的上确界，这里 $r$ 为有理数且 $r \leq x$ 。完备性保证了上确界的存在；有理数的稠密性给出了夹逼 $a^r < a^x < a^s$ （对 $r < x < s$ ），并由此得到严格单调性；伯努利不等式估计了夹逼区间的长度，并借助阿基米德性质证明了指数运算法则，其中最后一条按底数的取值和指数的符号逐一分情形证明：

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

有了这些法则，指数函数被证明是正的、单射的和严格单调的；一个新的上确界论证，借助伯努利不等式，证明了它取遍所有正值，因而它是从 $\mathbb{R}$ 到 $\ioo{0}{\infty}$ 的双射；并且证明了它最终会超过平方。

数 e

关于数 e 与自然指数函数的那一课选定了一个特殊的底数。它用二项式定理和伯努利不等式证明了 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 递增而 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 递减，并把 $e$ 定义为两个数列所夹的数；证明了它也是阶乘倒数之和的上确界，误差小于 $\frac{1}{n! \, n}$ ，并且是无理数；又利用基本不等式和幂的乘方证明了本金 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 的上确界是 $e^r$ ，而不借助极限的概念。这一课最富成果的结果是基本不等式，它对任意实数 $x$ 成立，仅在 $x = 0$ 处取等号，并几乎在后面所有的证明中再次出现：

e^x \geq 1 + x

对数与方程

关于对数函数的那一课得到 $\log_a$ 作为指数函数的反函数，并把每条指数运算法则转化为一条对数运算法则；换底公式表明所有对数都是同一个对数的倍数，欧几里得引理证明了 $\log_2 3$ 是无理数。关于指数与对数方程和不等式的那一课把这些函数的两条性质变成了方法：单射性允许令指数相等、令真数相等，单调性则按底数保持或改变不等号的方向。这类问题特有的困难，即定义域、增根以及辅助变量的非正值，全都源于指数函数只取正值。那一课中只有一个结果依赖于本单元没有证明的东西：没有代数解法的方程（如 $x + 2^x = 5$ ）的解的存在性，依赖于在关于有理函数的那一课中承认的介值定理，以及在关于实数指数幂的那一课中承认的指数函数的连续性；这两个事实的证明属于微积分。相反，解的唯一性以及确定其位置的二分法，都由大小顺序推出。

模型与双曲函数

关于增长与衰减的模型的那一课证明了规律 $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ 刻画了模型 $P_0 e^{kt}$ ，因而任何在相等时段内按同一比例变化的单调量都是指数型的；由此得到倍增时间和半衰期、碳 14 测年、牛顿定律、半对数线性化以及逻辑斯谛模型。最后，关于双曲函数的那一课把 $e^x$ 与 $e^{-x}$ 组合成双曲余弦和双曲正弦，它们的基本恒等式是指数运算法则的直接推论：

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

由它得出双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 的右支的参数表示（其参数可用一个对数求回）、加法公式以及反函数，后者在解关于 $e^y$ 的二次方程时用对数表示。这条链就这样回到自身：指数函数产生双曲函数，对数又把它们反过来。

下图把四段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，并用虚线连到确立它的那个环节，只有不加证明而承认的或来自前面各单元的支柱例外，它们画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A完备性. 每个有上界的非空实数集都有上确界；在关于数集的单元中给出。本单元中不加证明而采用。
B稠密性与阿基米德性质. 两个不同的实数之间总有一个有理数，并且每个实数都被某个自然数超过；在关于数集的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
C伯努利不等式. 若 $x \geq -1$ 且 $n$ 为自然数，则 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ；在关于自然数的单元中用归纳法证明。本单元中不加证明而采用。
D二项式定理. 对任意自然数 $n$ ，有 $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ；在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
E欧几里得引理. 若一个素数整除若干自然数的积，则它整除其中某个因数；在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
F指数运算法则. 对 $a > 0$ 、 $b > 0$ 以及实数 $x$ 、 $y$ ，有 $a^{x + y} = a^x a^y$ 、 $(ab)^x = a^x b^x$ 和 $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ 。确立于: 3. 实数指数的运算法则.
G指数函数的单调性. 若 $a > 1$ ，则对实数 $u$ 和 $v$ ， $u < v$ 当且仅当 $a^u < a^v$ ；底数在 $0$ 与 $1$ 之间时，不等号反向。确立于: 2. 夹逼与单调性.
H作为反函数的对数. 对 $x > 0$ ， $\log_a x = y$ 当且仅当 $a^y = x$ ；由此 $a^{\log_a x} = x$ 且 $\log_a \left( a^y \right) = y$ 。确立于: 15. 对数.

第 1 段实数指数幂
- 对任意实数指数把 $a^x$ 定义为有理数指数幂的上确界，并说明它延拓了原来的定义。
- 把 $a^x$ 夹在有理数指数幂之间，并由此推出严格单调性。
- 证明实数指数的运算法则（包括幂的乘方），所用夹逼区间的长度由伯努利不等式估计。
- 描述指数函数：定义域、符号、单射性、无界增长和水平渐近线。
- 用完备性和伯努利不等式证明指数函数取遍所有正值。
1. 实数指数幂. 若 $a > 1$ ，幂 $a^x$ 是幂 $a^r$ 的上确界，其中 $r$ 为有理数且 $r \leq x$ ；上确界存在，并且当 $x$ 为有理数时与已知的幂一致。
  依据: A (完备性), B (稠密性与阿基米德性质). 证明于: 指数函数与实数指数幂.
2. 夹逼与单调性. 若 $a > 1$ ，且 $r$ 、 $s$ 为有理数，满足 $r < x < s$ ，则 $a^r < a^x < a^s$ 。因此，若 $x < y$ ，则 $a^x < a^y$ （当 $a > 1$ 时）， $a^x > a^y$ （当 $0 < a < 1$ 时）；此外，对任意正底数有 $a^x > 0$ 。
  使用: 1. 实数指数幂. 依据: B (稠密性与阿基米德性质). 证明于: 指数函数与实数指数幂.
3. 实数指数的运算法则. 对 $a > 0$ 、 $b > 0$ 以及实数 $x$ 、 $y$ ，有 $a^{x + y} = a^x a^y$ 和 $(ab)^x = a^x b^x$ ；利用第一条、算术根的唯一性和新的夹逼，在各种符号情形下也有 $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ 。
  使用: 2. 夹逼与单调性. 依据: B (稠密性与阿基米德性质), C (伯努利不等式). 证明于: 指数函数与实数指数幂.
4. 指数函数. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有定义，为正且为单射；若 $a > 1$ ，它递增，超过任何界，并向左趋近 $0$ ，而 $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ 的图像是它关于 $y$ 轴的对称图形。
  使用: 1. 实数指数幂. 依据: C (伯努利不等式), G (指数函数的单调性). 证明于: 指数函数与实数指数幂.
5. 指数函数的值域. 若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则对任意 $y > 0$ 存在唯一实数 $x$ 使 $a^x = y$ ：若 $a > 1$ ，它是有理数 $r$ （满足 $a^r < y$ ）的上确界。指数函数是从 $\mathbb{R}$ 到 $\ioo{0}{\infty}$ 的双射。
  使用: 4. 指数函数. 依据: A (完备性), B (稠密性与阿基米德性质), C (伯努利不等式), F (指数运算法则), G (指数函数的单调性). 证明于: 指数函数与实数指数幂.
第 2 段数 e
- 用二项式定理和伯努利不等式证明 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 递增、 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 递减，并用归纳法证明的不等式 $k! \geq 2^{k - 1}$ 估计它。
- 把 $e$ 定义为两个数列所夹的数。
- 证明 $e$ 是阶乘倒数之和的上确界，估计误差，并推出 $e$ 是无理数。
- 证明基本不等式 $e^x \geq 1 + x$ ，并由此证明本金 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 的上确界是 $e^r$ 。
1. 数列的递增. 数列 $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 严格递增。
  依据: D (二项式定理). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
2. 阶乘与二的幂. 对任意自然数 $k$ ，有 $k! \geq 2^{k - 1}$ ，仅当 $k = 1$ 或 $k = 2$ 时取等号；用归纳法证明。
  证明于: 数 e 与自然指数函数.
3. 数列的界. 对任意自然数 $n$ ，有 $a_n \leq s_n < 3$ ，其中 $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ ： $s_n$ 的每一项都不超过公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列的相应项。
  使用: 7. 阶乘与二的幂. 依据: D (二项式定理). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
4. 伴随数列. 数列 $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 严格递减。
  依据: C (伯努利不等式). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
5. 数 e. 数 $e$ ，即各项 $a_n$ 的上确界，满足 $a_n < e < b_n$ ，这里 $n$ 是任意自然数。
  使用: 6. 数列的递增, 8. 数列的界, 9. 伴随数列. 依据: A (完备性). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
6. 数 e 的级数及其误差. 和 $s_n$ 的上确界是 $e$ ，并且对任意自然数 $n$ 有 $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ 。
  使用: 8. 数列的界, 10. 数 e. 依据: A (完备性), B (稠密性与阿基米德性质), C (伯努利不等式). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
7. e 的无理性. 数 $e$ 是无理数。
  使用: 11. 数 e 的级数及其误差. 证明于: 数 e 与自然指数函数.
8. 基本不等式. 对任意实数 $x$ ，有 $e^x \geq 1 + x$ ，且仅在 $x = 0$ 处取等号。
  使用: 10. 数 e. 依据: B (稠密性与阿基米德性质), C (伯努利不等式), F (指数运算法则), G (指数函数的单调性). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
9. 连续复利. 若 $r > 0$ ，本金 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 随 $n$ 递增，都达不到 $e^r$ ，其上确界为 $e^r$ ；对 $t > 0$ ，数 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ 的上确界为 $e^{rt}$ 。
  使用: 1. 实数指数幂, 6. 数列的递增, 10. 数 e, 13. 基本不等式. 依据: D (二项式定理), F (指数运算法则), G (指数函数的单调性). 证明于: 数 e 与自然指数函数.
第 3 段对数与方程
- 得到 $\log_a$ 作为指数函数的反函数，并把每条指数运算法则转化为一条对数运算法则。
- 通过换底公式把所有对数化为同一个对数，并研究它们的单调性和符号。
- 用欧几里得引理证明 $\log_2 3$ 是无理数。
- 把单射性和单调性变成解方程和不等式的方法。
1. 对数. 由于以 $a$ 为底的指数函数是从 $\mathbb{R}$ 到 $\ioo{0}{\infty}$ 的双射，对每个 $x > 0$ ，数 $\log_a x$ 是唯一的实数 $y$ ，使得 $a^y = x$ ，而函数 $\log_a$ 是它的反函数。
  使用: 5. 指数函数的值域. 证明于: 对数函数及其性质.
2. 对数运算法则. 对正数 $x$ 、 $y$ 和实数 $r$ ，有 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ 、 $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ 和 $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ 。
  依据: F (指数运算法则), H (作为反函数的对数). 证明于: 对数函数及其性质.
3. 换底公式. 有 $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ；每个对数都是自然对数除以一个常数，并且 $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ 。
  使用: 16. 对数运算法则. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 对数函数及其性质.
4. 对数的单调性与符号. 函数 $\log_a$ 在 $a > 1$ 时严格递增，在 $0 < a < 1$ 时严格递减，并且 $\log_a x > 0$ 当且仅当 $(a - 1)(x - 1) > 0$ 。
  依据: G (指数函数的单调性), H (作为反函数的对数). 证明于: 对数函数及其性质.
5. 无理的对数. 若 $a$ 与 $b$ 是大于 $1$ 的互素自然数，则数 $\log_a b$ 是无理数；特别地， $\log_2 3$ 是无理数。
  使用: 18. 对数的单调性与符号. 依据: F (指数运算法则), H (作为反函数的对数), E (欧几里得引理). 证明于: 对数函数及其性质.
6. 单射性与方程. $a^u = a^v$ 当且仅当 $u = v$ ， $\log_a u = \log_a v$ 当且仅当 $u = v$ ；方程 $a^x = c$ 有唯一解 $\log_a c$ （若 $c > 0$ ），若 $c \leq 0$ 则无解。
  使用: 4. 指数函数. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 指数与对数的方程和不等式.
7. 单调性与不等式. 若 $a > 1$ ，则 $a^u < a^v$ 当且仅当 $u < v$ ， $\log_a u < \log_a v$ 当且仅当 $u < v$ ；若 $0 < a < 1$ ，这些等价关系在不等号反向后成立。
  使用: 18. 对数的单调性与符号. 依据: G (指数函数的单调性). 证明于: 指数与对数的方程和不等式.
第 4 段模型与双曲函数
- 用模型 $P_0 e^{kt}$ 在相等时段内的常数比刻画它，并求出倍增时间和半衰期。
- 在半对数平面上把指数型数据线性化，并研究逻辑斯谛模型。
- 由 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 定义双曲余弦和双曲正弦，并研究它们的单调性。
- 证明基本恒等式，给出双曲线右支的参数表示，并求出加法公式和反函数。
1. 常数比. 若 $P(t) = P_0 e^{kt}$ 且 $P_0 > 0$ ，则 $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ ，这里 $t$ 和 $h$ 为任意实数；在整数时刻它就是离散模型（其中 $k = \ln(1 + r)$ ），函数在 $k > 0$ 时递增，在 $k < 0$ 时递减。
  依据: F (指数运算法则), G (指数函数的单调性), H (作为反函数的对数). 证明于: 指数增长与指数衰减的模型.
2. 常数比的逆. 若 $P$ 为正且单调，且商 $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ 只依赖于 $h$ ，则 $P(t) = P_0 e^{kt}$ ，这里 $k$ 是某个实数：方程 $f(t + h) = f(t) f(h)$ 与单调性决定了指数函数。
  使用: 2. 夹逼与单调性. 依据: B (稠密性与阿基米德性质), F (指数运算法则), H (作为反函数的对数). 证明于: 指数增长与指数衰减的模型.
3. 倍增与半衰期. 若 $k > 0$ ，模型 $P_0 e^{kt}$ 在每个长度为 $T = \frac{\ln 2}{k}$ 的区间上翻倍，而且只在这些区间上翻倍；若 $k = -\lambda < 0$ ，它在每个长度为 $\frac{\ln 2}{\lambda}$ 的区间上减半。
  使用: 22. 常数比, 20. 单射性与方程. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 指数增长与指数衰减的模型.
4. 半对数线性化. 点 $(t, y)$ （其中 $y > 0$ ）在 $y = C e^{kt}$ 的图像上，当且仅当 $(t, \ln y)$ 在直线 $Y = \ln C + kt$ 上；过横坐标不同的两点恰有一个这种形式的图像。
  使用: 16. 对数运算法则. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 指数增长与指数衰减的模型.
5. 逻辑斯谛模型. 函数 $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ ，其中 $K$ 、 $A$ 和 $r$ 为正，在 $0$ 与 $K$ 之间严格递增，达到 $\frac{K}{2}$ 的时刻是 $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ ，其图像关于该点对称。
  使用: 4. 指数函数. 依据: G (指数函数的单调性), H (作为反函数的对数). 证明于: 指数增长与指数衰减的模型.
6. 双曲函数. 设 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ 且 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ，则双曲余弦为偶函数，双曲正弦为奇函数，并且 $e^x = \cosh x + \sinh x$ ， $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ 。
  使用: 4. 指数函数. 证明于: 双曲函数.
7. 双曲函数的单调性. 双曲正弦和双曲正切严格递增，且 $-1 < \tanh x < 1$ ；双曲余弦在 $x \leq 0$ 时递减，在 $x \geq 0$ 时递增，最小值为 $\cosh 0 = 1$ 。
  使用: 27. 双曲函数. 依据: F (指数运算法则), G (指数函数的单调性). 证明于: 双曲函数.
8. 基本恒等式. 对任意实数 $x$ ，有 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 。
  使用: 27. 双曲函数. 依据: F (指数运算法则). 证明于: 双曲函数.
9. 双曲线的参数表示. 函数 $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $x^2 - y^2 = 1$ 的右支的双射，其反函数把点 $(x, y)$ 对应到数 $\ln(x + y)$ 。
  使用: 20. 单射性与方程, 27. 双曲函数, 28. 双曲函数的单调性, 29. 基本恒等式. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 双曲函数.
10. 加法公式. 有 $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ 和 $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ 。
  使用: 27. 双曲函数. 依据: F (指数运算法则). 证明于: 双曲函数.
11. 反双曲函数. 有 $\operatorname{arsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ 、 $\operatorname{arcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ （对 $x \geq 1$ ），以及 $\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ （对 $-1 < x < 1$ ）。
  使用: 28. 双曲函数的单调性. 依据: H (作为反函数的对数). 证明于: 双曲函数.

走向三角函数. 这条链回到自身：指数函数产生双曲函数，对数又把它们反过来。后续课程将对圆 $x^2 + y^2 = 1$ 做本单元对双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 所做的事。