الدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية، وهي آخر وحدات الدورة. يجمع نتائجها في سلسلة استنتاجية واحدة، تنطلق من تمام الأعداد الحقيقية وتصل إلى التمثيل الوسيطي للقطع الزائد؛ ويبيّن كيف تستند هذه السلسلة إلى الوحدات السابقة من الدورة، من الاستقراء وصيغة ثنائي الحد لنيوتن إلى معادلة القطع الزائد، وكيف تمهّد لدورة الجبر والهندسة 2، التي تبدأ بالدوال المثلثية والإحداثيات القطبية. ويختتم بعشرة تحدّيات، أصعب من المسائل المقترحة في الدروس، تتطلّب الجمع بين عدة دروس منها والعثور على فكرة خاصة.

أهداف التعلم

إعادة بناء سلسلة التعاريف والمبرهنات في الوحدة، مع تحديد النتيجة المتقدّمة التي تتوقّف عليها كل حلقة.
ربط نتائج الوحدة بنتائج الوحدات السابقة واستشراف دورها في الدوال المثلثية في دورة الجبر والهندسة 2.
حلّ مسائل تجمع بين رتابة الدالة الأسية وخواص اللوغاريتمات والمتباينة $e^x \geq 1 + x$ وصيغ الجمع الزائدية.
اختيار التعويض أو المتباينة أو الدالة المساعدة التي تردّ مسألة غير مألوفة إلى مسألة معروفة، اختيارًا ذاتيًا.

ما حقّقته الوحدة

انطلقت الوحدة من نقص: عند نهاية الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية كان للقوة $a^x$ معنى عندما يكون $x$ نسبيًا، ولم يكن لها معنى عند $x = \sqrt{2}$ . ونتيجتها النهائية عائلة من الدوال المعرّفة على المستقيم كله، ذات خواص جبرية كاملة ودوال عكسية صريحة وتأويل هندسي. وحلقات السلسلة هي الآتية.

القوة ذات الأس الحقيقي

عرّف الدرس المخصّص لـالدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي القوة $a^x$ ، عندما $a > 1$ ، بأنها الحد الأعلى الأصغر للقوى $a^r$ حيث $r$ نسبي و $r \leq x$ . وقد ضمن التمام وجود الحد الأعلى الأصغر؛ وأعطت كثافة الأعداد النسبية الحصر $a^r < a^x < a^s$ عندما $r < x < s$ ، ومعه الرتابة التامة؛ وحدّت متباينة برنولي طول فترات الحصر وأتاحت البرهان، بخاصية أرخميدس، على قوانين الأسس، وآخرها حالةً حالةً بحسب الأساس وإشارة الأس:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

وبهذه القوانين تبيّن أن الدالة الأسية موجبة وتباينية ورتيبة تمامًا؛ وأثبتت حجة جديدة بالحدود العليا الصغرى، مع متباينة برنولي، أنها تأخذ كل القيم الموجبة، بحيث تكون تقابلًا من $\mathbb{R}$ إلى $\ioo{0}{\infty}$ ؛ وبُرهن على أنها تتجاوز في النهاية المربعات.

العدد e

اختار الدرس المخصّص لـالعدد e والدالة الأسية الطبيعية أساسًا مميّزًا. فبصيغة ثنائي الحد لنيوتن ومتباينة برنولي برهن على أن $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ تتزايد وأن $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ تتناقص، وعرّف $e$ بأنه العدد الذي تحصره المتتاليتان كلتاهما؛ وأثبت أنه أيضًا الحد الأعلى الأصغر لمجاميع مقلوبات العامليات، بخطأ أصغر من $\frac{1}{n! \, n}$ ، وأنه غير نسبي، وبالمتباينة الأساسية وقوة القوة برهن على أن الحد الأعلى الأصغر لرؤوس الأموال $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ هو $e^r$ ، دون اللجوء إلى مفهوم النهاية. وأخصب نتائج الدرس هي المتباينة الأساسية، الصحيحة لكل عدد حقيقي $x$ ، مع المساواة فقط عند $x = 0$ ، والتي تعود للظهور في جلّ البراهين اللاحقة:

e^x \geq 1 + x

اللوغاريتم والمعادلات

حصل الدرس المخصّص لـالدالة اللوغاريتمية على $\log_a$ بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية، وترجم كل قانون من قوانين الأسس إلى خاصية من خواص اللوغاريتمات؛ وبيّن تغيير الأساس أن كل اللوغاريتمات مضاعفات للوغاريتم واحد، وبرهنت توطئة إقليدس على أن $\log_2 3$ غير نسبي. وحوّل الدرس المخصّص لـالمعادلات والمتراجحات الأسية واللوغاريتمية خاصيتين من خواص هذه الدوال إلى طريقتين: فالتباين يسمح بمساواة الأسس والمُدخَلات، والرتابة تحفظ اتجاه المتباينات أو تعكسه بحسب الأساس. والصعوبات الخاصة بهذه المسائل، أي مجال التعريف والحلول الدخيلة والقيم غير الموجبة للمتغير المساعد، تنشأ كلها من أن الدالة الأسية لا تأخذ إلا قيمًا موجبة. ونتيجة واحدة فقط من ذلك الدرس تستند إلى شيء لا تبرهن عليه الوحدة: فوجود حل لمعادلة لا طريقة جبرية لحلها، مثل $x + 2^x = 5$ ، يستند إلى مبرهنة القيم الوسطى، المقبولة في الدرس المخصّص لـالدوال الكسرية، وإلى اتصال الدالة الأسية، المقبول في الدرس المخصّص للقوة ذات الأس الحقيقي؛ والبرهان على هاتين الحقيقتين من شأن التحليل. أما وحدانية الحل، والتنصيف الذي يحدّد موضعه، فيُستنتجان من الترتيب.

النماذج والدوال الزائدية

برهن الدرس المخصّص لـنماذج النمو والتناقص على أن القانون $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ يميّز النموذج $P_0 e^{kt}$ ، وعلى أن كل مقدار رتيب يتغيّر بالنسبة نفسها في فترات متساوية هو إذن مقدار أسي؛ ومن هنا زمن التضاعف وعمر النصف، والتأريخ بالكربون 14، وقانون نيوتن، والتحويل نصف اللوغاريتمي إلى علاقة خطية، والنموذج اللوجستي. وأخيرًا جمع الدرس المخصّص لـالدوال الزائدية بين $e^x$ و $e^{-x}$ في جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي، اللذين متطابقتهما الأساسية نتيجة مباشرة لقانون الأسس:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

ومنها نتج التمثيل الوسيطي للفرع الأيمن من القطع الزائد $x^2 - y^2 = 1$ ، الذي يُستردّ وسيطه بلوغاريتم، وصيغ الجمع، والدوال العكسية، التي يُعبَّر عنها باللوغاريتمات عند حل معادلات من الدرجة الثانية في $e^y$ . وهكذا تنغلق السلسلة على نفسها: الدالة الأسية تولّد الدوال الزائدية، واللوغاريتم يعكسها.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يُقبل دون برهان أو يأتي من وحدات سابقة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالتمام. كل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى لها حد أعلى أصغر؛ نُصّ عليه في الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bالكثافة وخاصية أرخميدس. بين عددين حقيقيين مختلفين يوجد دائمًا عدد نسبي، وكل عدد حقيقي يتجاوزه عدد طبيعي ما؛ بُرهن عليهما في الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cمتباينة برنولي. إذا كان $x \geq -1$ وكان $n$ طبيعيًا، فإن $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ؛ بُرهن عليها بالاستقراء في الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dصيغة ثنائي الحد لنيوتن. لكل عدد طبيعي $n$ يتحقق $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ؛ بُرهن عليها في الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eتوطئة إقليدس. إذا قسم عدد أولي جداءً من الأعداد الطبيعية، قسم أحد عوامله؛ بُرهن عليها في الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fقوانين الأسس. من أجل $a > 0$ و $b > 0$ والعددين الحقيقيين $x$ و $y$ تتحقق $a^{x + y} = a^x a^y$ و $(ab)^x = a^x b^x$ و $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . تثبت في: 3. قوانين الأسس الحقيقية.
Gرتابة الدالة الأسية. إذا كان $a > 1$ ، فمن أجل العددين الحقيقيين $u$ و $v$ يكون $u < v$ إذا وفقط إذا كان $a^u < a^v$ ؛ وبأساس بين $0$ و $1$ تنعكس المتباينة. تثبت في: 2. الحصر والرتابة.
Hاللوغاريتم دالةً عكسية. من أجل $x > 0$ ، يكون $\log_a x = y$ إذا وفقط إذا كان $a^y = x$ ؛ ومن ثمّ $a^{\log_a x} = x$ و $\log_a \left( a^y \right) = y$ . تثبت في: 15. اللوغاريتم.

المقطع 1 القوة ذات الأس الحقيقي
- تعريف $a^x$ لكل أس حقيقي بوصفها الحد الأعلى الأصغر لقوى نسبية، وتعليل أنها تمدّد التعريف المعهود من قبل.
- حصر $a^x$ بين قوى نسبية واستنتاج الرتابة التامة من ذلك.
- البرهان على قوانين الأسس الحقيقية، ومنها قوة القوة، بحصور تحدّ متباينة برنولي طولها.
- وصف الدالة الأسية: مجال التعريف والإشارة والتباين والنمو غير المحدود والمقارب الأفقي.
- البرهان بالتمام ومتباينة برنولي على أن الدالة الأسية تأخذ كل القيم الموجبة.
1. القوة ذات الأس الحقيقي. إذا كان $a > 1$ ، فإن القوة $a^x$ هي الحد الأعلى الأصغر للقوى $a^r$ حيث $r$ نسبي و $r \leq x$ ؛ والحد الأعلى الأصغر موجود، وإذا كان $x$ نسبيًا طابق القوة المعروفة من قبل.
  تستند إلى: A (التمام), B (الكثافة وخاصية أرخميدس). يُبرهن في: الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي.
2. الحصر والرتابة. إذا كان $a > 1$ وكان $r$ و $s$ نسبيين مع $r < x < s$ ، فإن $a^r < a^x < a^s$ . ومن ثمّ، إذا كان $x < y$ ، فإن $a^x < a^y$ عندما $a > 1$ و $a^x > a^y$ عندما $0 < a < 1$ ؛ وفضلًا عن ذلك $a^x > 0$ لكل أساس موجب.
  تستعمل: 1. القوة ذات الأس الحقيقي. تستند إلى: B (الكثافة وخاصية أرخميدس). يُبرهن في: الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي.
3. قوانين الأسس الحقيقية. من أجل $a > 0$ و $b > 0$ والعددين الحقيقيين $x$ و $y$ تتحقق $a^{x + y} = a^x a^y$ و $(ab)^x = a^x b^x$ ؛ وبالأولى، ووحدانية الجذر الرئيسي، وحصر جديد، يتحقق أيضًا $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ ، في كل حالات الإشارة.
  تستعمل: 2. الحصر والرتابة. تستند إلى: B (الكثافة وخاصية أرخميدس), C (متباينة برنولي). يُبرهن في: الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي.
4. الدالة الأسية. إذا كان $a > 0$ و $a \neq 1$ ، فإن الدالة $a^x$ معرّفة على $\mathbb{R}$ ، وهي موجبة وتباينية؛ وإذا كان $a > 1$ فهي متزايدة، وتتجاوز كل حد، وتقترب من $0$ نحو اليسار، والتمثيل البياني لـ $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ هو انعكاس تمثيلها بالنسبة إلى المحور $y$ .
  تستعمل: 1. القوة ذات الأس الحقيقي. تستند إلى: C (متباينة برنولي), G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي.
5. مدى الدالة الأسية. إذا كان $a > 0$ و $a \neq 1$ ، فلكل $y > 0$ يوجد عدد حقيقي وحيد $x$ بحيث $a^x = y$ : إذا كان $a > 1$ ، فهو الحد الأعلى الأصغر للأعداد النسبية $r$ التي تحقق $a^r < y$ . والدالة الأسية تقابل من $\mathbb{R}$ إلى $\ioo{0}{\infty}$ .
  تستعمل: 4. الدالة الأسية. تستند إلى: A (التمام), B (الكثافة وخاصية أرخميدس), C (متباينة برنولي), F (قوانين الأسس), G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: الدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي.
المقطع 2 العدد e
- البرهان بصيغة ثنائي الحد لنيوتن ومتباينة برنولي على أن $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ تتزايد وأن $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ تتناقص، وحدّها بالمتباينة $k! \geq 2^{k - 1}$ ، المبرهن عليها بالاستقراء.
- تعريف $e$ بأنه العدد الذي تحصره المتتاليتان كلتاهما.
- إثبات أن $e$ هو الحد الأعلى الأصغر لمجاميع مقلوبات العامليات، وحدّ الخطأ، واستنتاج أن $e$ غير نسبي.
- البرهان على المتباينة الأساسية $e^x \geq 1 + x$ ، وبها على أن الحد الأعلى الأصغر لرؤوس الأموال $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ هو $e^r$ .
1. تزايد المتتالية. المتتالية $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ متزايدة تمامًا.
  تستند إلى: D (صيغة ثنائي الحد لنيوتن). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
2. العامليات وقوى العدد اثنين. لكل عدد طبيعي $k$ يتحقق $k! \geq 2^{k - 1}$ ، مع المساواة فقط إذا كان $k = 1$ أو $k = 2$ ؛ ويُبرهن عليها بالاستقراء.
  يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
3. حدّ المتتالية. لكل عدد طبيعي $n$ يتحقق $a_n \leq s_n < 3$ ، حيث $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : كل حد من حدود $s_n$ يُحدّ بحدّ من متتالية هندسية نسبتها المشتركة $\frac{1}{2}$ .
  تستعمل: 7. العامليات وقوى العدد اثنين. تستند إلى: D (صيغة ثنائي الحد لنيوتن). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
4. المتتالية المرافقة. المتتالية $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ متناقصة تمامًا.
  تستند إلى: C (متباينة برنولي). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
5. العدد e. العدد $e$ ، الحد الأعلى الأصغر للحدود $a_n$ ، يحقق $a_n < e < b_n$ لكل عدد طبيعي $n$ .
  تستعمل: 6. تزايد المتتالية, 8. حدّ المتتالية, 9. المتتالية المرافقة. تستند إلى: A (التمام). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
6. متسلسلة العدد e وخطؤها. الحد الأعلى الأصغر للمجاميع $s_n$ هو $e$ ، ولكل عدد طبيعي $n$ يتحقق $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  تستعمل: 8. حدّ المتتالية, 10. العدد e. تستند إلى: A (التمام), B (الكثافة وخاصية أرخميدس), C (متباينة برنولي). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
7. لا نسبية e. العدد $e$ غير نسبي.
  تستعمل: 11. متسلسلة العدد e وخطؤها. يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
8. المتباينة الأساسية. لكل عدد حقيقي $x$ يتحقق $e^x \geq 1 + x$ ، ولا تقع المساواة إلا عند $x = 0$ .
  تستعمل: 10. العدد e. تستند إلى: B (الكثافة وخاصية أرخميدس), C (متباينة برنولي), F (قوانين الأسس), G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
9. الرسملة المستمرة. إذا كان $r > 0$ ، فإن رؤوس الأموال $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ تتزايد مع $n$ ، ولا يبلغ أيٌّ منها $e^r$ ، وحدّها الأعلى الأصغر هو $e^r$ ؛ ومن أجل $t > 0$ ، الحد الأعلى الأصغر للأعداد $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ هو $e^{rt}$ .
  تستعمل: 1. القوة ذات الأس الحقيقي, 6. تزايد المتتالية, 10. العدد e, 13. المتباينة الأساسية. تستند إلى: D (صيغة ثنائي الحد لنيوتن), F (قوانين الأسس), G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: العدد e والدالة الأسية الطبيعية.
المقطع 3 اللوغاريتم والمعادلات
- الحصول على $\log_a$ بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية، وترجمة كل قانون من قوانين الأسس إلى خاصية من خواص اللوغاريتمات.
- ردّ كل اللوغاريتمات إلى لوغاريتم واحد بتغيير الأساس، ودراسة رتابتها وإشارتها.
- البرهان بتوطئة إقليدس على أن $\log_2 3$ غير نسبي.
- تحويل التباين والرتابة إلى طرق لحل المعادلات والمتراجحات.
1. اللوغاريتم. بما أن الدالة الأسية للأساس $a$ تقابل من $\mathbb{R}$ إلى $\ioo{0}{\infty}$ ، فمن أجل كل $x > 0$ يكون العدد $\log_a x$ هو العدد الحقيقي الوحيد $y$ بحيث $a^y = x$ ، والدالة $\log_a$ هي دالتها العكسية.
  تستعمل: 5. مدى الدالة الأسية. يُبرهن في: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها.
2. خواص اللوغاريتمات. من أجل العددين الموجبين $x$ و $y$ والعدد الحقيقي $r$ تتحقق $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ و $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ و $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  تستند إلى: F (قوانين الأسس), H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها.
3. تغيير الأساس. يتحقق $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ؛ وكل لوغاريتم هو اللوغاريتم الطبيعي مقسومًا على ثابت، و $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  تستعمل: 16. خواص اللوغاريتمات. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها.
4. رتابة اللوغاريتم وإشارته. الدالة $\log_a$ متزايدة تمامًا إذا كان $a > 1$ ومتناقصة تمامًا إذا كان $0 < a < 1$ ، و $\log_a x > 0$ إذا وفقط إذا كان $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  تستند إلى: G (رتابة الدالة الأسية), H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها.
5. لوغاريتمات غير نسبية. إذا كان $a$ و $b$ عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما أكبر من $1$ ، فإن العدد $\log_a b$ غير نسبي؛ وبخاصة $\log_2 3$ غير نسبي.
  تستعمل: 18. رتابة اللوغاريتم وإشارته. تستند إلى: F (قوانين الأسس), H (اللوغاريتم دالةً عكسية), E (توطئة إقليدس). يُبرهن في: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها.
6. التباين والمعادلات. يكون $a^u = a^v$ إذا وفقط إذا كان $u = v$ ، و $\log_a u = \log_a v$ إذا وفقط إذا كان $u = v$ ؛ وللمعادلة $a^x = c$ الحل الوحيد $\log_a c$ إذا كان $c > 0$ ، ولا حل لها إذا كان $c \leq 0$ .
  تستعمل: 4. الدالة الأسية. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات الأسية واللوغاريتمية.
7. الرتابة والمتراجحات. إذا كان $a > 1$ ، يكون $a^u < a^v$ إذا وفقط إذا كان $u < v$ ، و $\log_a u < \log_a v$ إذا وفقط إذا كان $u < v$ ؛ وإذا كان $0 < a < 1$ ، صحّت التكافؤات مع عكس الاتجاه.
  تستعمل: 18. رتابة اللوغاريتم وإشارته. تستند إلى: G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات الأسية واللوغاريتمية.
المقطع 4 النماذج والدوال الزائدية
- تمييز النموذج $P_0 e^{kt}$ بنسبته الثابتة في فترات متساوية، والحصول على زمن التضاعف وعمر النصف.
- تحويل البيانات الأسية إلى علاقة خطية في المستوى نصف اللوغاريتمي، ودراسة النموذج اللوجستي.
- تعريف جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي انطلاقًا من $e^x$ و $e^{-x}$ ، ودراسة رتابتهما.
- البرهان على المتطابقة الأساسية، والتمثيل الوسيطي للفرع الأيمن من القطع الزائد، والحصول على صيغ الجمع والدوال العكسية.
1. النسبة الثابتة. إذا كان $P(t) = P_0 e^{kt}$ مع $P_0 > 0$ ، فإن $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ لكل العددين الحقيقيين $t$ و $h$ ؛ وفي الأزمنة الصحيحة هو النموذج المتقطع مع $k = \ln(1 + r)$ ، والدالة متزايدة إذا كان $k > 0$ ومتناقصة إذا كان $k < 0$ .
  تستند إلى: F (قوانين الأسس), G (رتابة الدالة الأسية), H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: نماذج النمو والاضمحلال الأسيين.
2. عكس النسبة الثابتة. إذا كانت $P$ موجبة ورتيبة وكان خارج القسمة $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ لا يتوقف إلا على $h$ ، فإن $P(t) = P_0 e^{kt}$ لعدد حقيقي ما $k$ : المعادلة $f(t + h) = f(t) f(h)$ والرتابة تحدّدان الدالة الأسية.
  تستعمل: 2. الحصر والرتابة. تستند إلى: B (الكثافة وخاصية أرخميدس), F (قوانين الأسس), H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: نماذج النمو والاضمحلال الأسيين.
3. التضاعف وعمر النصف. إذا كان $k > 0$ ، فإن النموذج $P_0 e^{kt}$ يتضاعف في كل فترة مدتها $T = \frac{\ln 2}{k}$ ، وفيها وحدها؛ وإذا كان $k = -\lambda < 0$ ، فإنه ينخفض إلى النصف في كل فترة مدتها $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  تستعمل: 22. النسبة الثابتة, 20. التباين والمعادلات. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: نماذج النمو والاضمحلال الأسيين.
4. التحويل نصف اللوغاريتمي إلى علاقة خطية. تقع النقطة $(t, y)$ حيث $y > 0$ على التمثيل البياني لـ $y = C e^{kt}$ إذا وفقط إذا وقعت $(t, \ln y)$ على المستقيم $Y = \ln C + kt$ ؛ ومن نقطتين مختلفتي الفاصلة يمرّ تمثيل بياني وحيد من هذا الشكل.
  تستعمل: 16. خواص اللوغاريتمات. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: نماذج النمو والاضمحلال الأسيين.
5. النموذج اللوجستي. الدالة $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ ، حيث $K$ و $A$ و $r$ موجبة، متزايدة تمامًا بين $0$ و $K$ ، وتبلغ $\frac{K}{2}$ عند $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ ، وتمثيلها البياني متناظر بالنسبة إلى تلك النقطة.
  تستعمل: 4. الدالة الأسية. تستند إلى: G (رتابة الدالة الأسية), H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: نماذج النمو والاضمحلال الأسيين.
6. الدوال الزائدية. مع $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ و $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ، يكون جيب التمام الزائدي زوجيًا، والجيب فرديًا، و $e^x = \cosh x + \sinh x$ ، $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  تستعمل: 4. الدالة الأسية. يُبرهن في: الدوال الزائدية.
7. رتابة الدوال الزائدية. الجيب الزائدي والظل الزائدي متزايدان تمامًا، مع $-1 < \tanh x < 1$ ؛ وجيب التمام الزائدي متناقص من أجل $x \leq 0$ ، ومتزايد من أجل $x \geq 0$ ، وقيمته الصغرى $\cosh 0 = 1$ .
  تستعمل: 27. الدوال الزائدية. تستند إلى: F (قوانين الأسس), G (رتابة الدالة الأسية). يُبرهن في: الدوال الزائدية.
8. المتطابقة الأساسية. لكل عدد حقيقي $x$ يتحقق $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  تستعمل: 27. الدوال الزائدية. تستند إلى: F (قوانين الأسس). يُبرهن في: الدوال الزائدية.
9. التمثيل الوسيطي للقطع الزائد. الدالة $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ تقابل من $\mathbb{R}$ إلى الفرع الأيمن من $x^2 - y^2 = 1$ ، ودالتها العكسية تقرن بالنقطة $(x, y)$ العدد $\ln(x + y)$ .
  تستعمل: 20. التباين والمعادلات, 27. الدوال الزائدية, 28. رتابة الدوال الزائدية, 29. المتطابقة الأساسية. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: الدوال الزائدية.
10. صيغ الجمع. تتحقق $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ و $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  تستعمل: 27. الدوال الزائدية. تستند إلى: F (قوانين الأسس). يُبرهن في: الدوال الزائدية.
11. الدوال الزائدية العكسية. تتحقق $\operatorname{arcsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ ، و $\operatorname{arccosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ من أجل $x \geq 1$ ، و $\operatorname{arctanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ من أجل $-1 < x < 1$ .
  تستعمل: 28. رتابة الدوال الزائدية. تستند إلى: H (اللوغاريتم دالةً عكسية). يُبرهن في: الدوال الزائدية.

نحو الدوال المثلثية. تنغلق السلسلة على نفسها: الدالة الأسية تولّد الدوال الزائدية، واللوغاريتم يعكسها. وستفعل الدورة اللاحقة بالدائرة $x^2 + y^2 = 1$ ما فعلته هذه الوحدة بالقطع الزائد $x^2 - y^2 = 1$ .

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
ثلاثة أساسات وجداءاتها
تطبيق ينتشر
قيمة صغرى بثلاثة أساسات
لوغاريتمان بأساسين مختلفين
خليط مشعّ
العدد e مرفوعًا إلى القوة pi
مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية
الجيب الزائدي الثلاثي
تركيب السرعات
مجموع ثنائي الحد لجيوب زائدية